6 Teorema Bayes dan Aplikasinya

Teorema Bayes adalah salah satu teorema paling penting dalam teori peluang yang memungkinkan kita memperbarui keyakinan atau peluang suatu kejadian berdasarkan informasi baru yang diperoleh.

6.0.1 Mengapa Teorema Bayes Penting?

Teorema Bayes memungkinkan kita:

Membalik peluang bersyarat: dari P(B|A) ke P(A|B)
Memperbarui keyakinan berdasarkan bukti baru
Menghitung peluang posterior dari peluang prior dan likelihood
Menganalisis diagnostik medis, spam filtering, machine learning, dll.

6.1 PELUANG BERSYARAT (Review)

Sebelum masuk ke Teorema Bayes, kita review dulu konsep peluang bersyarat.

Definisi: \[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0\]

Interpretasi: Peluang kejadian A terjadi, dengan syarat B sudah terjadi.

Aturan Perkalian: \[P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B) = P(A) \cdot P(B \mid A)\]

Contoh 1: Dua Kartu Berurutan

Dari 52 kartu, diambil 2 kartu berturut-turut tanpa pengembalian. Berapa peluang kedua kartu adalah As?

Penyelesaian:

Misalkan:
A₁ = kartu pertama As
A₂ = kartu kedua As

P(A₁) = 4/52
P(A₂ | A₁) = 3/51 (tersisa 3 As dari 51 kartu)

P(A₁ ∩ A₂) = P(A₁) × P(A₂ | A₁)
           = (4/52) × (3/51)
           = 12/2,652
           = 1/221
           ≈ 0.00452 atau 0.452%

6.2 HUKUM PELUANG TOTAL

Hukum ini adalah fondasi untuk memahami Teorema Bayes.

6.2.1 Partisi Ruang Sampel

Definisi: Kejadian-kejadian B₁, B₂, …, Bₙ membentuk partisi dari ruang sampel S jika:

Bᵢ ∩ Bⱼ = ∅ untuk semua i ≠ j (saling lepas)
B₁ ∪ B₂ ∪ … ∪ Bₙ = S (mencakup seluruh S)
P(Bᵢ) > 0 untuk semua i

Visualisasi: Bayangkan S seperti pizza yang dipotong menjadi n bagian yang tidak tumpang tindih.

6.2.2 Hukum Peluang Total

Teorema: Jika B₁, B₂, …, Bₙ adalah partisi dari S, maka untuk setiap kejadian A:

\[P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)\]

Atau untuk 2 partisi: \[P(A) = P(A \mid B) \cdot P(B) + P(A \mid B^c) \cdot P(B^c)\]

Contoh 2: Tiga Pabrik

Sebuah perusahaan mendapat pasokan dari 3 pabrik:

Pabrik 1: 30% pasokan, tingkat cacat 2%
Pabrik 2: 45% pasokan, tingkat cacat 3%
Pabrik 3: 25% pasokan, tingkat cacat 5%

Berapa peluang suatu produk yang dipilih acak adalah cacat?

Penyelesaian:

Misalkan:
B₁ = dari pabrik 1, P(B₁) = 0.30
B₂ = dari pabrik 2, P(B₂) = 0.45
B₃ = dari pabrik 3, P(B₃) = 0.25
D = produk cacat

P(D | B₁) = 0.02
P(D | B₂) = 0.03
P(D | B₃) = 0.05

Hukum Peluang Total:
P(D) = P(D|B₁)P(B₁) + P(D|B₂)P(B₂) + P(D|B₃)P(B₃)
     = (0.02)(0.30) + (0.03)(0.45) + (0.05)(0.25)
     = 0.006 + 0.0135 + 0.0125
     = 0.032 atau 3.2%

6.3 TEOREMA BAYES

6.3.1 Formula Dasar

Untuk 2 Kejadian:

\[P(B \mid A) = \frac{P(A \mid B) \cdot P(B)}{P(A)}\]

Bentuk Lengkap dengan Hukum Peluang Total:

\[P(B \mid A) = \frac{P(A \mid B) \cdot P(B)}{P(A \mid B) \cdot P(B) + P(A \mid B^c) \cdot P(B^c)}\]

Untuk n Partisi:

\[P(B_i \mid A) = \frac{P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A \mid B_j) \cdot P(B_j)}\]

6.3.2 Terminologi Penting

P(Bᵢ) = Prior Probability (peluang awal sebelum informasi A)
P(A | Bᵢ) = Likelihood (seberapa mungkin A terjadi jika Bᵢ benar)
P(Bᵢ | A) = Posterior Probability (peluang yang diperbarui setelah A terjadi)
P(A) = Marginal Probability atau Evidence

Interpretasi: Teorema Bayes memperbarui keyakinan kita tentang Bᵢ setelah mengamati A.

6.3.3 Contoh 3: Lanjutan Pabrik (Teorema Bayes)

Dari Contoh 2, jika suatu produk ternyata cacat, berapa peluang produk tersebut dari Pabrik 3?

Penyelesaian:

Kita cari P(B₃ | D)

P(B₃ | D) = P(D | B₃) × P(B₃) / P(D)
          = (0.05 × 0.25) / 0.032
          = 0.0125 / 0.032
          = 0.3906 atau 39.06%

Bandingkan dengan prior P(B₃) = 25%
Setelah tahu produk cacat, peluang dari Pabrik 3 naik menjadi 39.06%

Untuk kelengkapan, hitung semua posterior:

P(B₁ | D) = (0.02 × 0.30) / 0.032 = 0.006/0.032 = 0.1875 atau 18.75%
P(B₂ | D) = (0.03 × 0.45) / 0.032 = 0.0135/0.032 = 0.4219 atau 42.19%
P(B₃ | D) = (0.05 × 0.25) / 0.032 = 0.0125/0.032 = 0.3906 atau 39.06%

Total = 18.75% + 42.19% + 39.06% = 100% ✓

6.3.4 Contoh 4: Tes Medis

Sebuah penyakit langka menyerang 0.5% populasi. Tes diagnostik untuk penyakit ini memiliki:

Sensitivitas (True Positive Rate): 99% (jika sakit, tes positif)
Spesifisitas (True Negative Rate): 95% (jika sehat, tes negatif)

Seseorang tes hasilnya positif. Berapa peluang dia benar-benar sakit?

Penyelesaian:

Misalkan:

S = sakit, P(S) = 0.005
S^c = sehat, P(S^c) = 0.995
+ = tes positif

Given:

P(+ | S) = 0.99 (sensitivitas)
P(- | S^c) = 0.95 (spesifisitas)
Berarti: P(+ | S^c) = 1 - 0.95 = 0.05 (False Positive Rate)

Kita cari P(S | +)

Hitung P(+) dulu:

P(+) = P(+ | S) × P(S) + P(+ | S^c) × P(S^c)
     = (0.99)(0.005) + (0.05)(0.995)
     = 0.00495 + 0.04975
     = 0.0547

Teorema Bayes: 

P(S | +) = P(+ | S) × P(S) / P(+)
         = (0.99 × 0.005) / 0.0547
         = 0.00495 / 0.0547
         = 0.0905 atau 9.05%

Interpretasi Penting:

Meskipun tes akurat 99%, peluang benar-benar sakit hanya 9.05%!
Ini karena penyakit sangat langka (prevalensi rendah)
False positive (5% dari 99.5% orang sehat) >> True positive

6.3.5 Contoh 5: Email Spam

Sebuah filter spam mengklasifikasi email berdasarkan kata “gratis”:

80% email spam mengandung kata “gratis”
10% email normal mengandung kata “gratis”
30% email yang masuk adalah spam

Jika email mengandung kata “gratis”, berapa peluang email itu spam?

Penyelesaian:

Misalkan:
S = spam, P(S) = 0.30
N = normal, P(N) = 0.70
G = mengandung "gratis"

Given:
P(G | S) = 0.80
P(G | N) = 0.10

Kita cari P(S | G)

P(G) = P(G | S) × P(S) + P(G | N) × P(N)
     = (0.80)(0.30) + (0.10)(0.70)
     = 0.24 + 0.07
     = 0.31

P(S | G) = P(G | S) × P(S) / P(G)
         = (0.80 × 0.30) / 0.31
         = 0.24 / 0.31
         = 0.7742 atau 77.42%

6.4 DIAGRAM POHON PELUANG

Diagram pohon sangat membantu dalam masalah Teorema Bayes.

6.4.1 Contoh 6: Kotak dan Bola

Ada 3 kotak:

Kotak A: 3 merah, 2 biru
Kotak B: 2 merah, 3 biru
Kotak C: 4 merah, 1 biru

Kotak dipilih acak, lalu sebuah bola diambil dari kotak tersebut. Jika bola yang diambil merah, berapa peluang dari Kotak B?

Penyelesaian dengan Diagram Pohon:

                    Kotak A (1/3)
                   /              \
                  /                \
              Merah (3/5)        Biru (2/5)
                 |                   |
            P(A∩M)=1/3×3/5=1/5   P(A∩B)=2/15
            
                    Kotak B (1/3)
                   /              \
                  /                \
              Merah (2/5)        Biru (3/5)
                 |                   |
            P(B∩M)=1/3×2/5=2/15  P(B∩Biru)=1/5
            
                    Kotak C (1/3)
                   /              \
                  /                \
              Merah (4/5)        Biru (1/5)
                 |                   |
            P(C∩M)=1/3×4/5=4/15  P(C∩Biru)=1/15

Hitung P(M):

P(M) = P(M|A)P(A) + P(M|B)P(B) + P(M|C)P(C)
     = (3/5)(1/3) + (2/5)(1/3) + (4/5)(1/3)
     = 1/5 + 2/15 + 4/15
     = 3/15 + 2/15 + 4/15
     = 9/15 = 3/5

Hitung P(B|M):

P(B | M) = P(M | B) × P(B) / P(M)
         = (2/5) × (1/3) / (3/5)
         = (2/15) / (3/5)
         = (2/15) × (5/3)
         = 10/45 = 2/9
         ≈ 0.222 atau 22.22%

6.5 APLIKASI LANJUTAN

6.5.1 Contoh 7: Deteksi Kebohongan

Sebuah lie detector (polygraph) memiliki akurasi:

Jika berbohong, terdeteksi bohong: 90%
Jika jujur, terdeteksi jujur: 85%

Diasumsikan 95% orang jujur. Jika seseorang terdeteksi bohong, berapa peluang dia benar-benar bohong?

Penyelesaian:

Misalkan:
L = berbohong, P(L) = 0.05
T = jujur, P(T) = 0.95
D = terdeteksi bohong

Given:
P(D | L) = 0.90 (sensitivitas)
P(tidak D | T) = 0.85
Berarti: P(D | T) = 1 - 0.85 = 0.15 (false positive)

P(D) = P(D | L) × P(L) + P(D | T) × P(T)
     = (0.90)(0.05) + (0.15)(0.95)
     = 0.045 + 0.1425
     = 0.1875

P(L | D) = P(D | L) × P(L) / P(D)
         = (0.90 × 0.05) / 0.1875
         = 0.045 / 0.1875
         = 0.24 atau 24%

Kesimpulan: Hanya 24% kemungkinan benar-benar bohong meskipun terdeteksi bohong!

6.5.2 Contoh 8: A/B Testing

Sebuah website menguji 2 desain:

Desain A: 5% pengunjung melakukan pembelian
Desain B: 7% pengunjung melakukan pembelian
Trafik dibagi: 60% ke A, 40% ke B

Jika user melakukan pembelian, berapa peluang dia melihat Desain B?

Penyelesaian:

Misalkan:
A = melihat desain A, P(A) = 0.60
B = melihat desain B, P(B) = 0.40
P = melakukan pembelian

Given:
P(P | A) = 0.05
P(P | B) = 0.07

P(P) = P(P | A) × P(A) + P(P | B) × P(B)
     = (0.05)(0.60) + (0.07)(0.40)
     = 0.030 + 0.028
     = 0.058

P(B | P) = P(P | B) × P(B) / P(P)
         = (0.07 × 0.40) / 0.058
         = 0.028 / 0.058
         = 0.4828 atau 48.28%

6.5.3 Contoh 9: Multiple Testing

Seseorang di tes COVID-19 dua kali dengan hasil:

Tes 1: Positif
Tes 2: Positif

Prevalensi COVID: 2% Akurasi tes (sensitivitas dan spesifisitas): 95%

Berapa peluang benar-benar positif setelah 2 tes?

Penyelesaian (asumsi tes independen):

Setelah Tes 1:

P(C) = 0.02 (prior)
P(+ | C) = 0.95
P(+ | C^c) = 0.05

P(+) = 0.95 × 0.02 + 0.05 × 0.98 = 0.019 + 0.049 = 0.068

P(C | +) = (0.95 × 0.02) / 0.068
         = 0.019 / 0.068
         = 0.279 atau 27.9%

Setelah Tes 2 (menggunakan posterior sebagai prior baru):

Prior baru: P(C) = 0.279

P(+ | C) = 0.95
P(+ | C^c) = 0.05

P(+) = 0.95 × 0.279 + 0.05 × 0.721 = 0.265 + 0.036 = 0.301

P(C | +) = (0.95 × 0.279) / 0.301
         = 0.265 / 0.301
         = 0.880 atau 88.0%

Kesimpulan: Setelah 2 tes positif, peluang naik dari 27.9% → 88.0%

6.6 TABEL KONTINGENSI DAN BAYES

Tabel kontingensi membantu visualisasi untuk Teorema Bayes.

6.6.1 Contoh 10: Format Tabel 2×2

Dari 10,000 orang:

100 sakit (1%)
9,900 sehat (99%)
Tes sensitivitas: 99%, spesifisitas: 95%

	Sakit	Sehat	Total
Tes +	99	495	594
Tes -	1	9,405	9,406
Total	100	9,900	10,000

Hitung P(Sakit | Tes+):

P(Sakit | Tes+) = 99 / 594 = 0.167 atau 16.7%

Interpretasi: Dari 594 orang dengan tes positif, hanya 99 (16.7%) yang benar-benar sakit.

6.7 TEOREMA BAYES UNTUK MULTIPLE HYPOTHESES

Ketika ada lebih dari 2 hipotesis:

\[P(H_i \mid E) = \frac{P(E \mid H_i) \cdot P(H_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(E \mid H_j) \cdot P(H_j)}\]

6.7.1 Contoh 11: Tiga Koin

Ada 3 koin:

Koin 1: Fair (P(H)=0.5)
Koin 2: Bias ke Heads (P(H)=0.7)
Koin 3: Bias ke Tails (P(H)=0.3)

Koin dipilih acak, dilempar 3 kali, hasilnya: H, H, T. Berapa peluang koin yang dipilih adalah Koin 2?

Penyelesaian:

Prior: P(K₁) = P(K₂) = P(K₃) = 1/3

Likelihood (untuk hasil HHT):
P(HHT | K₁) = 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.125
P(HHT | K₂) = 0.7 × 0.7 × 0.3 = 0.147
P(HHT | K₃) = 0.3 × 0.3 × 0.7 = 0.063

P(HHT) = (1/3)[0.125 + 0.147 + 0.063]
       = (1/3)(0.335) = 0.1117

P(K₂ | HHT) = P(HHT | K₂) × P(K₂) / P(HHT)
            = (0.147 × 1/3) / 0.1117
            = 0.049 / 0.1117
            = 0.439 atau 43.9%

Untuk kelengkapan:
P(K₁ | HHT) = (0.125 × 1/3) / 0.1117 = 0.373 atau 37.3%
P(K₃ | HHT) = (0.063 × 1/3) / 0.1117 = 0.188 atau 18.8%

Total = 37.3% + 43.9% + 18.8% = 100% ✓

6.8 STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH BAYES

6.8.1 Langkah-Langkah Sistematis

Identifikasi hipotesis/partisi (B₁, B₂, …, Bₙ)
Tentukan prior probabilities: P(Bᵢ)
Identifikasi evidence/data yang diamati: A
Tentukan likelihoods: P(A | Bᵢ) untuk semua i
Hitung P(A) menggunakan Hukum Peluang Total
Terapkan Teorema Bayes: P(Bᵢ | A)
Interpretasi hasil dalam konteks masalah

6.8.2 Checklist Verifikasi

Apakah hipotesis membentuk partisi? (saling lepas, lengkap)
Apakah semua prior dijumlahkan = 1?
Apakah semua posterior dijumlahkan = 1?
Apakah hasil masuk akal secara intuitif?

6.9 TABEL PERBANDINGAN: KONSEP TERKAIT

Konsep	Formula	Kegunaan
Peluang Bersyarat	P(A\|B) = P(A∩B)/P(B)	Dasar untuk Bayes
Aturan Perkalian	P(A∩B) = P(A)P(B\|A)	Menghitung joint probability
Hukum Peluang Total	P(A) = Σ P(A\|Bᵢ)P(Bᵢ)	Menghitung marginal probability
Teorema Bayes	P(B\|A) = P(A\|B)P(B)/P(A)	Membalik conditional probability
Independensi	P(A\|B) = P(A)	Cek ketergantungan

6.10 RINGKASAN FORMULA PENTING

6.10.1 Formula Inti

Teorema Bayes (2 kejadian): \[P(B \mid A) = \frac{P(A \mid B) \cdot P(B)}{P(A)}\]

Teorema Bayes (lengkap): \[P(B \mid A) = \frac{P(A \mid B) \cdot P(B)}{P(A \mid B) \cdot P(B) + P(A \mid B^c) \cdot P(B^c)}\]

Teorema Bayes (n partisi): \[P(B_i \mid A) = \frac{P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A \mid B_j) \cdot P(B_j)}\]

6.10.2 Hukum Peluang Total

\[P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)\]

6.10.3 Aturan Perkalian

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B)\]

6.11 PERSPEKTIF FREQUENTIST VS BAYESIAN

Pendekatan	Fokus	Makna “probabilitas”
Frequentist	Frekuensi kejadian dalam jangka panjang	“Seberapa sering ini terjadi kalau diulang ribuan kali?”
Bayesian	Keyakinan (degree of belief) yang bisa diperbarui dengan bukti baru	“Seberapa yakin saya terhadap suatu hal, sebelum & sesudah melihat data?”

🧠 Saat hasil bisa sama

Kalau datanya banyak banget, dan prior Bayes-nya netral (tidak bias), biasanya hasil Bayesian ≈ Frequentist (karena bukti mendominasi).

Contoh: kalau kamu lempar koin 10.000 kali, hasil 5.012 kali muncul kepala → baik metode frequentist maupun Bayesian sama-sama akan bilang “sekitar 50%”.

⚖️ Saat hasil bisa beda

Perbedaannya muncul kalau datanya sedikit atau kita punya informasi awal (prior). Mari lihat dua contoh:

6.11.1 🔹 Contoh A — Koin baru (data sedikit)

Kamu lempar koin baru 3 kali, hasil: 3 kali kepala. Kamu mau tahu: “Apakah koin ini fair?”

6.11.1.1 💭 Frequentist:

Estimasi peluang kepala = 3/3 = 1 (100%) Karena belum ada asumsi lain, dia pakai murni data.

6.11.1.2 💭 Bayesian:

Mulai dari prior belief: “Sebelum lihat data, saya percaya koin kemungkinan besar fair (p=0.5)”. Setelah 3 kali kepala, update keyakinan jadi sekitar p(head) ≈ 0.8, bukan 1.

👉 Beda hasilnya: Frequentist “keras” — 100%, Bayesian “lebih hati-hati” karena masih menggabungkan informasi sebelumnya.

6.11.2 🔹 Contoh B — Tes medis penyakit langka

Kita bahas yang tadi: Penyakit 0.5%, sensitivitas 99%, spesifisitas 95%.

6.11.2.1 💭 Frequentist:

“Kalau kamu tes positif, peluang benar-benar sakit = 9%” (pakai proporsi populasi dan sifat tes, tanpa pendapat sebelumnya).

6.11.2.2 💭 Bayesian:

Kalau dokter tahu pasien punya gejala khas → bisa pasang prior lebih tinggi, misalnya 10%. Maka: [ P(S|+) = = 0.69 = 69%] Sekarang hasilnya berbeda jauh (9% vs 69%) karena prior belief-nya berubah.

6.11.3 🧮 4️⃣ Kesimpulan singkat

Situasi	Frequentist	Bayesian	Hasil beda?
Data besar, prior netral	Berdasarkan data saja	Data + prior (prior lemah)	Tidak
Data sedikit	Berdasarkan frekuensi observasi	Menggabungkan keyakinan awal	✅ Ya
Ada informasi awal (gejala, konteks, pengalaman)	Tidak digunakan	Digunakan dalam prior	✅ Ya
Tujuan: keputusan klinis/prediksi personal	Kurang fleksibel	Lebih realistis (personalized)	✅ Ya

Kalimat ringkasnya:

🔸 Frequentist bilang: “Probabilitas itu sifat dunia, saya cuma hitung frekuensinya.” 🔹 Bayesian bilang: “Probabilitas itu tingkat keyakinan saya, bisa berubah kalau ada data baru.”

6.12 APLIKASI NYATA TEOREMA BAYES

6.12.1 1. Kedokteran

Diagnosis penyakit berdasarkan gejala dan tes
Evaluasi efektivitas screening tests
Personalized medicine

6.12.2 2. Machine Learning

Naive Bayes Classifier untuk:
- Spam filtering
- Sentiment analysis
- Text classification
Bayesian Networks untuk reasoning under uncertainty

6.12.3 3. Forensik

DNA evidence analysis
Probabilistic reasoning dalam kasus hukum

6.12.4 4. Finance

Credit scoring
Risk assessment
Portfolio optimization

6.12.5 5. Quality Control

Product defect analysis
Supplier evaluation
Process monitoring

6.13 LATIHAN MANDIRI

Soal 1: Prevalensi penyakit X adalah 1%. Tes memiliki sensitivitas 98% dan spesifisitas 97%. Jika hasil tes positif, berapa peluang benar-benar sakit?

Soal 2: Tiga mesin A, B, C memproduksi 25%, 35%, 40% dari total produksi dengan tingkat cacat 5%, 4%, 2%. Jika produk cacat, berapa peluang dari mesin C?

Soal 3: Email spam 40% mengandung kata “uang”, email normal 5% mengandung kata “uang”. 60% email adalah spam. Jika email mengandung “uang”, berapa peluang spam?

Soal 4: Seorang siswa belajar dengan peluang 0.7. Jika belajar, lulus dengan peluang 0.9. Jika tidak belajar, lulus dengan peluang 0.3. Siswa lulus, berapa peluang dia belajar?

Soal 5: Dari contoh 11, jika hasil lemparan adalah HHHH (4 heads), berapa peluang koin yang dipilih adalah Koin 2?

6.14 REFERENSI

Ross, S. (2014). A First Course in Probability (9th ed.). Pearson.
Degroot, M. H., & Schervish, M. J. (2012). Probability and Statistics (4th ed.). Pearson.
Bertsekas, D. P., & Tsitsiklis, J. N. (2008). Introduction to Probability (2nd ed.). Athena Scientific.
Hogg, R. V., McKean, J. W., & Craig, A. T. (2019). Introduction to Mathematical Statistics (8th ed.). Pearson.
Pearl, J. (2018). The Book of Why: The New Science of Cause and Effect. Basic Books.