2  Statistika Deskriptif

Statistika deskriptif adalah cabang statistika yang berfokus pada peringkasan, penyajian, dan interpretasi data tanpa membuat generalisasi ke populasi yang lebih besar.

2.1 Ukuran Pemusatan (Measures of Central Tendency)

Definisi Intuitif:

Ukuran pemusatan menunjukkan “nilai tipikal” atau “nilai representatif” yang menggambarkan di mana data cenderung berkumpul atau terpusat. Bayangkan seperti mencari titik keseimbangan dari sekumpulan data.

2.1.1 1. Mean (Rata-rata)

Definisi Intuitif:

Mean adalah titik keseimbangan matematis dari semua data. Jika kita bayangkan data sebagai beban di atas papan timbangan, mean adalah titik dimana papan akan seimbang sempurna.

Definisi Formal:

Jumlah semua nilai dibagi dengan banyaknya data.

2.1.1.1 Formula untuk Data Tunggal

\[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}\]

dimana:

  • \(\bar{x}\) = mean sampel
  • \(x_i\) = nilai data ke-i
  • \(n\) = jumlah data

2.1.1.2 Formula untuk Data Berkelompok

\[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i \cdot m_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i \cdot m_i}{n}\]

dimana:

  • \(f_i\) = frekuensi kelas ke-i
  • \(m_i\) = nilai tengah kelas ke-i
  • \(k\) = banyak kelas

2.1.1.3 Contoh Perhitungan

Data Tunggal:

Nilai ujian 5 mahasiswa: 75, 82, 68, 90, 85

\[\bar{x} = \frac{75 + 82 + 68 + 90 + 85}{5} = \frac{400}{5} = 80\]

Data Berkelompok:

Kelas Nilai Frekuensi (f) Titik Tengah (m) f × m
60-69 3 64.5 193.5
70-79 8 74.5 596
80-89 12 84.5 1014
90-99 7 94.5 661.5
Total 30 2465

\[\bar{x} = \frac{2465}{30} = 82.17\]

2.1.2 2. Median

Definisi Intuitif:

Median adalah nilai tengah yang membagi data menjadi dua kelompok sama besar. Bayangkan mengurutkan semua orang berdasarkan tinggi badan, median adalah tinggi orang yang berada tepat di tengah barisan.

Definisi Formal:

Nilai tengah yang membagi data menjadi dua bagian sama besar setelah diurutkan.

2.1.2.1 Formula untuk Data Tunggal

Jika n ganjil:

\[Me = x_{\frac{n+1}{2}}\]

Jika n genap:

\[Me = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}\]

2.1.2.2 Formula untuk Data Berkelompok

\[Me = L + \left(\frac{\frac{n}{2} - CF}{f}\right) \times h\]

dimana:

  • \(L\) = batas bawah kelas median
  • \(n\) = jumlah data
  • \(CF\) = frekuensi kumulatif sebelum kelas median
  • \(f\) = frekuensi kelas median
  • \(h\) = panjang interval kelas

2.1.2.3 Contoh Perhitungan

Data Tunggal:

68, 75, 82, 85, 90 (sudah terurut, n=5)

\[Me = x_{\frac{5+1}{2}} = x_3 = 82\]

Data Berkelompok (menggunakan tabel sebelumnya):

  • \(n = 30\), sehingga \(\frac{n}{2} = 15\)
  • Kelas median: 80-89 (karena frekuensi kumulatif mencapai 15)
  • \(L = 79.5\), \(CF = 11\), \(f = 12\), \(h = 10\)

\[Me = 79.5 + \left(\frac{15 - 11}{12}\right) \times 10 = 79.5 + 3.33 = 82.83\]

2.1.3 3. Modus

Definisi Intuitif:

Modus adalah nilai yang paling “populer” atau paling sering muncul dalam data. Seperti mencari jawaban yang paling banyak dipilih dalam survei atau warna baju yang paling banyak dipakai di kelas.

Definisi Formal:

Nilai yang paling sering muncul dalam data.

2.1.3.1 Formula untuk Data Berkelompok

\[Mo = L + \left(\frac{d_1}{d_1 + d_2}\right) \times h\]

dimana:

  • \(L\) = batas bawah kelas modus
  • \(d_1\) = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
  • \(d_2\) = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
  • \(h\) = panjang interval kelas

2.1.3.2 Contoh Perhitungan

Data Tunggal:

2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6

Modus = 5 (muncul 3 kali)

Data Berkelompok (menggunakan tabel sebelumnya):

  • Kelas modus: 80-89 (frekuensi tertinggi = 12)
  • \(L = 79.5\), \(d_1 = 12-8 = 4\), \(d_2 = 12-7 = 5\), \(h = 10\)

\[Mo = 79.5 + \left(\frac{4}{4 + 5}\right) \times 10 = 79.5 + 4.44 = 83.94\]

2.2 Ukuran Penyebaran (Measures of Dispersion)

Definisi Intuitif:

Ukuran penyebaran menunjukkan seberapa “tersebar” atau “bervariasi” data dari pusat distribusi. Bayangkan dua kelas dengan nilai rata-rata sama (80), tetapi:

  • Kelas A: nilai berkisar 78-82 (data mengumpul di sekitar mean)
  • Kelas B: nilai berkisar 60-100 (data tersebar jauh dari mean)

Kelas B memiliki penyebaran yang lebih besar meski mean-nya sama.

2.2.1 1. Range (Jangkauan)

Definisi Intuitif:

Range menunjukkan rentang keseluruhan data, dari nilai terkecil hingga terbesar. Seperti selisih antara suhu tertinggi dan terendah dalam sehari.

Formula:

\[R = x_{max} - x_{min}\]

Contoh:

Data 68, 75, 82, 85, 90

\[R = 90 - 68 = 22\]

2.2.2 2. Varians

Definisi Intuitif:

Varians mengukur rata-rata kuadrat jarak setiap data dari mean. Semakin besar varians, semakin tersebar data dari pusatnya. Seperti mengukur seberapa jauh rata-rata rumah-rumah dari pusat kota.

Definisi Formal:

Rata-rata kuadrat selisih setiap nilai dengan mean.

2.2.2.1 Formula untuk Data Tunggal

Varians Populasi:

\[\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N}\]

Varians Sampel:

\[s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}\]

2.2.2.2 Formula untuk Data Berkelompok

\[s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i(m_i - \bar{x})^2}{n-1}\]

dimana:

  • \(f_i\) = frekuensi kelas ke-i
  • \(m_i\) = nilai tengah kelas ke-i
  • \(n\) = jumlah data

2.2.2.3 Contoh Perhitungan

Data: 75, 82, 68, 90, 85 dengan \(\bar{x} = 80\)

\(x_i\) \(x_i - \bar{x}\) \((x_i - \bar{x})^2\)
75 -5 25
82 2 4
68 -12 144
90 10 100
85 5 25
Total 298

\[s^2 = \frac{298}{5-1} = \frac{298}{4} = 74.5\]

2.2.3 3. Simpangan Baku (Standard Deviation)

Definisi Intuitif:

Simpangan baku adalah akar kuadrat varians yang memberikan ukuran penyebaran dalam satuan yang sama dengan data asli. Lebih mudah diinterpretasi karena satuannya sama dengan data.

Formula:

\[s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}\]

Contoh:

\[s = \sqrt{74.5} = 8.63\]

2.2.4 4. Koefisien Variasi

Definisi Intuitif:

Koefisien variasi mengukur variabilitas relatif terhadap mean, berguna untuk membandingkan variabilitas antar dataset dengan skala berbeda. Seperti membandingkan variabilitas gaji (dalam jutaan) dengan variabilitas umur (dalam tahun).

Formula:

\[CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%\]

Contoh:

\[CV = \frac{8.63}{80} \times 100\% = 10.79\%\]

2.3 Visualisasi Data dengan R

2.3.1 1. Tabel Distribusi Frekuensi

Definisi:

Tabel yang menunjukkan berapa kali setiap nilai atau kelompok nilai muncul dalam dataset.

Kegunaan:

  • Melihat pola distribusi data secara numerik
  • Identifikasi nilai yang paling sering/jarang muncul
  • Dasar untuk membuat histogram dan visualisasi lainnya

Interpretasi:

Frekuensi tinggi menunjukkan nilai yang umum, frekuensi rendah menunjukkan nilai yang jarang.

# Data contoh
nilai <- c(75, 82, 68, 90, 85, 78, 92, 65, 88, 79, 
           73, 86, 81, 94, 77, 89, 71, 83, 95, 76)

# Membuat tabel frekuensi untuk data kategorik
nilai_grade <- cut(nilai, breaks = c(0, 60, 70, 80, 90, 100), 
                   labels = c("E", "D", "C", "B", "A"))
tabel_frekuensi <- table(nilai_grade)
print(tabel_frekuensi)
nilai_grade
E D C B A 
0 2 7 8 3 
# Tabel frekuensi dengan proporsi
prop.table(tabel_frekuensi)
nilai_grade
   E    D    C    B    A 
0.00 0.10 0.35 0.40 0.15

2.3.2 2. Histogram

Definisi:

Grafik yang menunjukkan distribusi data kontinu dengan membagi data ke dalam interval (bins) dan menampilkan frekuensi setiap interval sebagai batang.

Kegunaan:

  • Melihat bentuk distribusi data (simetris, miring kiri/kanan)
  • Identifikasi outlier dan pola dalam data
  • Estimasi visual mean, median, dan modus

Interpretasi:

  • Tinggi batang = frekuensi data dalam interval tersebut
  • Bentuk kurva = karakteristik distribusi (normal, skewed, bimodal)
# Histogram sederhana
hist(nilai, 
     main = "Distribusi Nilai Ujian Mahasiswa",
     xlab = "Nilai",
     ylab = "Frekuensi",
     breaks = 8)

# Menambahkan garis mean dan median
abline(v = mean(nilai), lty = 2)
abline(v = median(nilai), lty = 3)
legend("topright", 
       legend = c("Mean", "Median"), 
       lty = c(2, 3))

2.3.3 3. Diagram Batang (Bar Chart)

Definisi:

Grafik yang menampilkan data kategorik menggunakan batang dengan tinggi proporsional terhadap nilai/frekuensi kategori.

Kegunaan:

  • Membandingkan frekuensi atau nilai antar kategori
  • Menampilkan ranking atau urutan kategori
  • Visualisasi data nominal dan ordinal

Interpretasi:

  • Tinggi batang = nilai/frekuensi kategori
  • Perbandingan tinggi = perbandingan antar kategori
# Data kategorik
jurusan <- c("Teknik", "Ekonomi", "MIPA", "Sosial", "Hukum")
jumlah_mahasiswa <- c(250, 180, 120, 90, 60)

# Bar chart sederhana
barplot(jumlah_mahasiswa,
        names.arg = jurusan,
        main = "Jumlah Mahasiswa per Jurusan",
        xlab = "Jurusan",
        ylab = "Jumlah Mahasiswa")

# Menambahkan nilai di atas batang
text(x = seq_along(jumlah_mahasiswa), 
     y = jumlah_mahasiswa + 10, 
     labels = jumlah_mahasiswa)

2.3.4 4. Diagram Lingkaran (Pie Chart)

Definisi:

Grafik berbentuk lingkaran yang menunjukkan proporsi setiap kategori terhadap keseluruhan data.

Kegunaan:

  • Menampilkan komposisi atau proporsi data kategorik
  • Melihat kontribusi relatif setiap kategori
  • Efektif untuk data dengan kategori tidak terlalu banyak (≤7)

Interpretasi:

  • Ukuran potongan = proporsi kategori terhadap total
  • Total semua potongan = 100% dari data
# Pie chart sederhana
pie(jumlah_mahasiswa,
    labels = paste(jurusan, "\n", 
                   round(jumlah_mahasiswa/sum(jumlah_mahasiswa)*100, 1), "%"),
    main = "Distribusi Mahasiswa per Jurusan")

2.3.5 5. Box Plot (Diagram Kotak)

Definisi:

Grafik yang menampilkan ringkasan lima angka (minimum, Q1, median, Q3, maksimum) dan outlier dalam bentuk kotak dan garis.

Kegunaan:

  • Identifikasi outlier dengan mudah
  • Membandingkan distribusi antar kelompok
  • Melihat simetri dan skewness distribusi

Interpretasi:

  • Garis tengah kotak = median
  • Kotak = rentang interkuartil (IQR = Q3-Q1)
  • Whiskers = rentang data normal (bukan outlier)
    • Whisker atas = Q3 + 1.5×IQR
    • Whisker bawah = Q1 - 1.5×IQR
  • Titik terpisah = outlier (data di luar whiskers)

Untuk boxplot, Q1 dan Q3 didapat dari posisi data dalam urutan.

Definisi:

  • \(Q_1\) (kuartil pertama) = nilai pada posisi seperempat data terendah.
  • \(Q_3\) (kuartil ketiga) = nilai pada posisi tiga perempat data terendah.

Rumus umum (data tunggal):
Jika \(n\) = banyak data (sudah diurutkan):

\[ Q_1 = x_{\frac{n+1}{4}}, \quad Q_3 = x_{\frac{3(n+1)}{4}} \]

Jika indeks bukan bilangan bulat, gunakan interpolasi (ambil rata-rata dua nilai terdekat).

Contoh (n = 10 data):
Data terurut: 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 22

  • \(Q_1 = x_{\frac{10+1}{4}} = x_{2.75}\) → interpolasi antara \(x_2 = 7\) dan \(x_3 = 8\):

    \[ Q_1 = 7 + 0.75(8-7) = 7.75 \]

  • \(Q_3 = x_{\frac{3(10+1)}{4}} = x_{8.25}\) → interpolasi antara \(x_8 = 18\) dan \(x_9 = 20\):

    \[ Q_3 = 18 + 0.25(20-18) = 18.5 \]

# Box plot untuk satu variabel
boxplot(nilai,
        main = "Box Plot Nilai Ujian",
        ylab = "Nilai")

# Box plot perbandingan antar grup
nilai_A <- c(85, 88, 92, 89, 87, 90, 93, 86, 91, 88)
nilai_B <- c(78, 82, 79, 85, 81, 83, 80, 84, 82, 86)
nilai_C <- c(72, 75, 73, 78, 76, 74, 77, 79, 75, 73)

boxplot(nilai_A, nilai_B, nilai_C,
        names = c("Kelas A", "Kelas B", "Kelas C"),
        main = "Perbandingan Nilai Antar Kelas",
        ylab = "Nilai")

2.3.6 6. Scatter Plot (Diagram Pencar)

Definisi:

Grafik yang menampilkan hubungan antara dua variabel kontinu dengan setiap observasi direpresentasikan sebagai titik.

Kegunaan:

  • Mengidentifikasi pola hubungan antar variabel
  • Mendeteksi korelasi positif, negatif, atau tidak ada korelasi
  • Identifikasi outlier dalam hubungan bivariat

Interpretasi:

  • Pola naik = korelasi positif
  • Pola turun = korelasi negatif
  • Titik tersebar acak = tidak ada korelasi
  • Titik jauh dari pola = outlier
# Data untuk scatter plot
jam_belajar <- c(2, 4, 3, 6, 5, 7, 4, 8, 5, 6, 3, 7, 4, 9, 6)
nilai_ujian <- c(65, 75, 70, 85, 78, 88, 72, 92, 80, 85, 68, 90, 74, 95, 82)

plot(jam_belajar, nilai_ujian,
     main = "Hubungan Jam Belajar dengan Nilai Ujian",
     xlab = "Jam Belajar per Hari",
     ylab = "Nilai Ujian")

# Menambahkan garis regresi
abline(lm(nilai_ujian ~ jam_belajar))

2.4 Interpretasi dan Pemilihan Ukuran

2.4.1 Kapan Menggunakan Mean, Median, atau Modus?

Mean (Rata-rata):

  • ✅ Gunakan: Data numerik, distribusi simetris, tidak ada outlier ekstrem
  • ❌ Hindari: Data dengan outlier, distribusi sangat miring (skewed)
  • Contoh: Nilai ujian, tinggi badan, suhu harian

Median:

  • ✅ Gunakan: Data dengan outlier, distribusi miring, data ordinal
  • ✅ Kelebihan: Robust terhadap outlier
  • Contoh: Pendapatan (karena ada yang sangat tinggi), harga rumah

Modus:

  • ✅ Gunakan: Data nominal, mencari nilai paling populer
  • Contoh: Warna favorit, merek yang paling laku, jenis kelamin

2.4.2 Hubungan Mean, Median, Modus

# Simulasi distribusi berbeda
par(mfrow = c(1, 3))

# Distribusi simetris
set.seed(123)
data_simetris <- rnorm(1000, 50, 10)
hist(data_simetris, main = "Distribusi Simetris\nMean ≈ Median ≈ Modus", 
     col = "lightblue", xlab = "Nilai")
abline(v = mean(data_simetris), col = "red", lwd = 2)
abline(v = median(data_simetris), col = "blue", lwd = 2)

# Distribusi miring kanan
data_kanan <- rgamma(1000, 2, 1)
hist(data_kanan, main = "Distribusi Miring Kanan\nMean > Median > Modus", 
     col = "lightgreen", xlab = "Nilai")
abline(v = mean(data_kanan), col = "red", lwd = 2)
abline(v = median(data_kanan), col = "blue", lwd = 2)

# Distribusi miring kiri  
data_kiri <- 10 - rgamma(1000, 2, 1)
hist(data_kiri, main = "Distribusi Miring Kiri\nMean < Median < Modus", 
     col = "lightcoral", xlab = "Nilai")
abline(v = mean(data_kiri), col = "red", lwd = 2)
abline(v = median(data_kiri), col = "blue", lwd = 2)

2.5 Ringkasan Rumus Penting

Ukuran Formula Keterangan
Mean \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\) Rata-rata aritmatik
Median \(Me = x_{\frac{n+1}{2}}\) (n ganjil) Nilai tengah
Varians \(s^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}\) Ukuran penyebaran kuadratik
Std Dev \(s = \sqrt{s^2}\) Akar kuadrat varians
Range \(R = x_{max} - x_{min}\) Selisih nilai tertinggi dan terendah
CV \(CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%\) Variabilitas relatif
Important

Tips Praktis:

  1. Selalu visualisasikan data terlebih dahulu
  2. Periksa adanya outlier sebelum menghitung mean
  3. Gunakan median untuk data dengan outlier
  4. Laporkan ukuran pemusatan dan penyebaran bersama-sama
  5. Interpretasikan hasil dalam konteks domain aplikasi