5 Kombinatorika Dalam Kalkulasi Peluang Diskret

5.1 Recap Singkat Minggu 4

Quiz

Petunjuk Pengerjaan

Kerjakan soal dengan teliti
Tunjukkan langkah-langkah perhitungan
Waktu: 50 menit
Total: 10 soal

SOAL 1 Dua dadu fair dilempar sekali. Berapa peluang jumlah mata dadu = 9?

SOAL 2 Empat kali lempar koin fair. Berapa peluang muncul tepat 3 sisi gambar?

SOAL 3 Sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian M adalah bilangan ganjil, kejadian N adalah bilangan prima. Hitung P(M | N).

SOAL 4 Sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian A adalah kelipatan 2, kejadian B adalah bilangan lebih dari 3. Apakah A dan B independen?

SOAL 5 Dua dadu fair dilempar. Berapa peluang keduanya bernilai ganjil?

SOAL 6 Dua dadu fair dilempar. Berapa peluang minimal satu dadu bernilai 5?

SOAL 7 Sebuah dadu dilempar sekali. Hitung peluang muncul bilangan genap dengan syarat hasil lebih dari 2.

SOAL 8 Diketahui P(A) = 0.6, P(B) = 0.4, dan P(A ∩ B) = 0.2. Hitung P(A ∪ B).

SOAL 9 Kejadian A dan B saling lepas dengan P(A) = 1/4 dan P(B) = 2/5. Hitung P(A ∪ B).

SOAL 10 Sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian B adalah bilangan genap, kejadian C adalah bilangan kurang dari 5. Hitung P(C | B).

SOAL TAMBAHAN (Bonus Nilai)

Tambahan 1 Diketahui P(A) = 2/3 dan P(B | A) = 3/4. Hitung P(A ∩ B).

Tambahan 2 Diketahui P(A) = 1/3, P(B) = 1/2, P(A ∩ B) = 1/6. Tentukan hubungan A dan B.

Tambahan 3 P(A) = 0.45. Hitung P(A^c).

Tambahan 4 Sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian Z adalah bilangan ganjil, kejadian Q adalah bilangan prima. Hitung P(Z ∩ Q^c).

Tambahan 5 Jika A dan B saling lepas serta P(A) > 0 dan P(B) > 0, apakah A dan B bisa independen? Jelaskan!

5.2 Kombinatorika Dalam Kalkulasi Peluang Diskret.

Kombinatorika adalah cabang matematika yang mempelajari cara menghitung, mengatur, dan memilih objek. Dalam konteks peluang diskret, kombinatorika menjadi alat fundamental untuk menghitung jumlah kemungkinan hasil dalam ruang sampel.

5.2.1 Mengapa Kombinatorika Penting dalam Peluang?

Peluang suatu kejadian A didefinisikan sebagai:

\[P(A) = \frac{\text{Jumlah hasil yang menguntungkan}}{\text{Jumlah seluruh kemungkinan}}\]

Kombinatorika membantu kita menghitung pembilang dan penyebut dari rumus di atas secara sistematis.

5.3 PRINSIP DASAR KOMBINATORIKA

5.3.1 Kaidah Perkalian (Multiplication Rule)

Definisi:
Jika suatu kegiatan dapat dilakukan dalam m cara, dan untuk setiap cara tersebut kegiatan kedua dapat dilakukan dalam n cara, maka kedua kegiatan tersebut dapat dilakukan secara berurutan dalam m × n cara.

Bentuk Umum:
Untuk k kegiatan berurutan: Total cara = n₁ × n₂ × n₃ × … × nₖ

Contoh 1: Menu Restoran

Sebuah restoran menawarkan: - 3 jenis makanan pembuka - 5 jenis makanan utama - 4 jenis dessert - 3 jenis minuman

Berapa banyak kombinasi menu lengkap yang dapat dipilih?

Penyelesaian:

Total kombinasi = 3 × 5 × 4 × 3 = 180 kombinasi menu

Contoh 2: Kode PIN

Sebuah PIN terdiri dari 4 digit (0-9). Berapa banyak PIN yang mungkin jika: a) Tidak ada digit yang berulang? b) Digit boleh berulang?

Penyelesaian:

Tidak ada digit berulang:

Digit 1: 10 pilihan
Digit 2: 9 pilihan (1 sudah terpakai)
Digit 3: 8 pilihan (2 sudah terpakai)
Digit 4: 7 pilihan (3 sudah terpakai)

Total = 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 PIN

Digit boleh berulang:

Setiap digit: 10 pilihan
Total = 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000 PIN

5.3.2 Kaidah Penjumlahan (Addition Rule)

Definisi:
Jika suatu kegiatan dapat dilakukan dalam m cara ATAU dalam n cara (tetapi tidak keduanya sekaligus), maka kegiatan tersebut dapat dilakukan dalam m + n cara.

Prinsip: Digunakan untuk kejadian yang saling lepas (mutually exclusive).

Contoh 3: Transportasi ke Kampus

Seorang mahasiswa dapat ke kampus dengan: - 4 jalur bus - 2 jalur kereta - 3 jalur angkot

Berapa banyak pilihan transportasi?

Penyelesaian:

Total = 4 + 2 + 3 = 9 pilihan

Contoh 4: Panitia Acara

Sebuah panitia perlu memilih ketua dari: - 5 mahasiswa semester 6 - 3 mahasiswa semester 8

Berapa banyak cara memilih ketua?

Penyelesaian:

Total = 5 + 3 = 8 cara

5.4 PERMUTASI

Permutasi adalah susunan objek dengan memperhatikan urutan.

5.4.1 Permutasi Tanpa Pengulangan

Formula:

\[P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}\]

dimana: - n = jumlah total objek - r = jumlah objek yang dipilih - n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1

Notasi alternatif: \(_nP_r\) atau \(P_r^n\)

Kasus Khusus: Permutasi n objek semua: P(n,n) = n!

Contoh 5: Lomba Lari

Dalam lomba lari dengan 8 peserta, ada berapa cara menentukan juara 1, 2, dan 3?

Penyelesaian:

P(8,3) = 8!/(8-3)! = 8!/5! = 8 × 7 × 6 = 336 cara

Contoh 6: Susunan Buku

Berapa cara menyusun 5 buku berbeda di rak?

Penyelesaian:

P(5,5) = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 cara

Contoh 7: Password

Sebuah password terdiri dari 3 huruf berbeda dari 26 huruf alfabet. Berapa banyak password yang mungkin?

Penyelesaian:

P(26,3) = 26!/(26-3)! = 26 × 25 × 24 = 15,600 password

5.4.2 Permutasi dengan Pengulangan

Formula:

\[\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ... \times n_k!}\]

dimana: - n = total objek - n₁, n₂, …, nₖ = jumlah objek identik dari setiap jenis

Contoh 8: Kata MATEMATIKA

Berapa banyak cara menyusun huruf dalam kata “MATEMATIKA”?

Penyelesaian:

Total huruf = 10
M = 2, A = 3, T = 2, E = 1, I = 1, K = 1

Jumlah cara = 10!/(2! × 3! × 2! × 1! × 1! × 1!)
            = 3,628,800/(2 × 6 × 2)
            = 3,628,800/24
            = 151,200 cara

Contoh 9: Lampu Warna

Ada 10 lampu: 4 merah, 3 biru, 3 hijau. Berapa cara menyusunnya dalam satu baris?

Penyelesaian:

Jumlah cara = 10!/(4! × 3! × 3!)
            = 3,628,800/(24 × 6 × 6)
            = 4,200 cara

5.4.3 Permutasi Siklik

Formula: Permutasi siklik dari n objek = (n-1)!

Konsep: Dalam susunan melingkar, tidak ada posisi awal/akhir yang tetap.

Contoh 10: Meja Bundar

Berapa cara menyusun 6 orang duduk mengelilingi meja bundar?

Penyelesaian:

Permutasi siklik = (6-1)! = 5! = 120 cara

5.5 KOMBINASI

Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutan.

5.5.1 Kombinasi Tanpa Pengulangan

Formula:

\[C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\]

Notasi alternatif: \(_nC_r\) atau \(\binom{n}{r}\)

Sifat Penting: 1. \(C(n,r) = C(n,n-r)\) 2. \(C(n,0) = C(n,n) = 1\) 3. \(C(n,1) = n\) 4. \(C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)\) (Identitas Pascal)

Contoh 11: Komite

Dari 10 mahasiswa, akan dipilih 4 orang untuk mengikuti kompetisi. Berapa cara pemilihan?

Penyelesaian:

C(10,4) = 10!/(4! × 6!)
        = (10 × 9 × 8 × 7)/(4 × 3 × 2 × 1)
        = 5,040/24
        = 210 cara

Contoh 12: Kartu

Dari 52 kartu bridge, berapa cara memilih 5 kartu?

Penyelesaian:

C(52,5) = 52!/(5! × 47!)
        = 2,598,960 cara

5.5.2 Kombinasi dengan Pengulangan

Formula:

\[C(n+r-1, r) = \binom{n+r-1}{r}\]

dimana: - n = jumlah jenis objek - r = jumlah objek yang dipilih

Contoh 13: Membeli Buah

Di toko ada 4 jenis buah. Anda ingin membeli 6 buah (boleh jenis yang sama). Berapa cara memilih?

Penyelesaian:

C(4+6-1, 6) = C(9,6) = C(9,3) = 84 cara

5.6 PERBEDAAN PERMUTASI DAN KOMBINASI

Aspek	Permutasi	Kombinasi
Urutan	PENTING	TIDAK PENTING
Rumus	P(n,r) = n!/(n-r)!	C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]
Hubungan	P(n,r) = r! × C(n,r)	C(n,r) = P(n,r)/r!
Contoh	Juara 1,2,3 dari 10 orang	Tim 3 orang dari 10 orang
Nilai	Lebih besar	Lebih kecil

Contoh 14: Perbandingan

Dari 5 orang {A, B, C, D, E}, pilih 3 orang.

Permutasi (urutan penting):

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA,
ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA,
... dst
Total: P(5,3) = 60 cara

Kombinasi (urutan tidak penting):

{A,B,C}, {A,B,D}, {A,B,E}, {A,C,D}, {A,C,E},
{A,D,E}, {B,C,D}, {B,C,E}, {B,D,E}, {C,D,E}
Total: C(5,3) = 10 cara

5.7 APLIKASI DALAM PELUANG DISKRET

5.7.1 Prinsip Dasar

Untuk menghitung peluang kejadian A:

\[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{\text{Jumlah hasil yang menguntungkan}}{\text{Jumlah seluruh kemungkinan}}\]

Kombinatorika digunakan untuk menghitung n(A) dan n(S).

5.7.2 Contoh Aplikasi: Kartu

Contoh 15: Lima Kartu dari Deck

Dari 52 kartu bridge, diambil 5 kartu secara acak. Berapa peluang mendapat:

a) 3 kartu As dan 2 kartu King?

Penyelesaian:

Cara memilih 3 As dari 4: C(4,3) = 4
Cara memilih 2 King dari 4: C(4,2) = 6
Total cara mendapat 3 As dan 2 King: 4 × 6 = 24

Total cara memilih 5 kartu dari 52: C(52,5) = 2,598,960

P(3 As dan 2 King) = 24/2,598,960 ≈ 0.0000092 atau 0.00092%

b) Semua kartu hati?

Penyelesaian:

Kartu hati = 13
Cara memilih 5 kartu hati: C(13,5) = 1,287

P(semua hati) = 1,287/2,598,960 ≈ 0.000495 atau 0.0495%

c) Tepat 2 kartu merah dan 3 kartu hitam?

Penyelesaian:

Kartu merah = 26, kartu hitam = 26
Cara memilih 2 merah dari 26: C(26,2) = 325
Cara memilih 3 hitam dari 26: C(26,3) = 2,600
Total: 325 × 2,600 = 845,000

P(2 merah, 3 hitam) = 845,000/2,598,960 ≈ 0.325 atau 32.5%

5.7.3 Contoh Aplikasi: Lotere

Contoh 16: Lotere 6/49

Dalam lotere, pemain memilih 6 angka dari 1-49. Berapa peluang:

a) Menang jackpot (menebak 6 angka dengan benar)?

Penyelesaian:

Total cara memilih 6 dari 49: C(49,6) = 13,983,816

P(jackpot) = 1/13,983,816 ≈ 0.00000007 atau 0.000007%

b) Menebak tepat 5 angka benar?

Penyelesaian:

Cara memilih 5 benar dari 6: C(6,5) = 6
Cara memilih 1 salah dari 43: C(43,1) = 43
Total: 6 × 43 = 258

P(5 benar) = 258/13,983,816 ≈ 0.0000185 atau 0.00185%

5.7.4 Contoh Aplikasi: Quality Control

Contoh 17: Inspeksi Produk

Sebuah kotak berisi 20 produk, 4 diantaranya cacat. Jika diambil 5 produk secara acak untuk inspeksi, berapa peluang:

a) Tidak ada produk cacat?

Penyelesaian:

Produk baik = 16
Cara memilih 5 dari 16 baik: C(16,5) = 4,368
Total cara memilih 5 dari 20: C(20,5) = 15,504

P(tidak cacat) = 4,368/15,504 ≈ 0.282 atau 28.2%

b) Tepat 1 produk cacat?

Penyelesaian:

Cara memilih 1 cacat dari 4: C(4,1) = 4
Cara memilih 4 baik dari 16: C(16,4) = 1,820
Total: 4 × 1,820 = 7,280

P(1 cacat) = 7,280/15,504 ≈ 0.470 atau 47.0%

c) Minimal 2 produk cacat?

Penyelesaian (menggunakan komplemen):

P(minimal 2 cacat) = 1 - P(0 cacat) - P(1 cacat)
                   = 1 - 0.282 - 0.470
                   = 0.248 atau 24.8%

5.7.5 Contoh Aplikasi: Distribusi Objek

Contoh 18: Pembagian Hadiah

Ada 10 buku berbeda akan dibagikan kepada 3 siswa: A mendapat 4 buku, B mendapat 3 buku, C mendapat 3 buku. Berapa cara pembagian?

Penyelesaian:

Cara memilih 4 buku untuk A dari 10: C(10,4) = 210
Cara memilih 3 buku untuk B dari 6 sisanya: C(6,3) = 20
Cara memilih 3 buku untuk C dari 3 sisanya: C(3,3) = 1

Total cara = 210 × 20 × 1 = 4,200 cara

Formula umum: \[\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ... \times n_k!}\]

Untuk kasus ini:

= 10!/(4! × 3! × 3!)
= 3,628,800/(24 × 6 × 6)
= 4,200 cara

5.7.6 Contoh Aplikasi: Poker

Contoh 19: Peluang Full House

Dalam poker, “Full House” adalah 3 kartu dengan nilai sama + 2 kartu dengan nilai sama yang berbeda. Berapa peluang mendapat Full House dari 5 kartu?

Penyelesaian:

Langkah 1: Pilih nilai untuk 3 kartu: 13 pilihan
Langkah 2: Pilih 3 kartu dari 4 kartu nilai tersebut: C(4,3) = 4
Langkah 3: Pilih nilai untuk 2 kartu (dari 12 nilai sisanya): 12 pilihan
Langkah 4: Pilih 2 kartu dari 4 kartu nilai tersebut: C(4,2) = 6

Total Full House = 13 × 4 × 12 × 6 = 3,744
Total 5 kartu = C(52,5) = 2,598,960

P(Full House) = 3,744/2,598,960 ≈ 0.00144 atau 0.144%

5.8 STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH

5.8.1 Langkah-Langkah Umum

Identifikasi apakah masalah tentang permutasi atau kombinasi
- Urutan penting? → Permutasi
- Urutan tidak penting? → Kombinasi
Tentukan apakah ada pengulangan
- Objek boleh berulang? → Formula khusus
- Objek tidak boleh berulang? → Formula standar
Hitung jumlah kemungkinan untuk numerator dan denominator
Kalkulasi peluang = n(kejadian)/n(ruang sampel)

5.8.2 Tabel Bantuan Pemilihan Formula

Kondisi	Formula	Contoh
Urutan penting, tidak ada pengulangan	P(n,r) = n!/(n-r)!	Juara 1,2,3 dari 10 orang
Urutan penting, ada pengulangan identik	n!/(n₁!×n₂!×…×nₖ!)	Menyusun kata BANANA
Urutan tidak penting, tidak ada pengulangan	C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]	Memilih 5 dari 10 orang
Urutan tidak penting, boleh pengulangan	C(n+r-1,r)	Membeli 6 buah dari 4 jenis
Susunan melingkar	(n-1)!	Duduk mengelilingi meja

5.9 RINGKASAN FORMULA PENTING

5.9.1 Prinsip Dasar

Kaidah Perkalian: m × n × p × …
Kaidah Penjumlahan: m + n + p + …

5.9.2 Permutasi

Tanpa pengulangan: P(n,r) = n!/(n-r)!
Dengan pengulangan: n!/(n₁!×n₂!×…×nₖ!)
Siklik: (n-1)!

5.9.3 Kombinasi

Tanpa pengulangan: C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]
Dengan pengulangan: C(n+r-1,r)

5.9.4 Hubungan

P(n,r) = r! × C(n,r)
C(n,r) = C(n,n-r)

5.9.5 Faktorial

0! = 1
n! = n × (n-1)!

5.11 REFERENSI

Rosen, K. H. (2019). Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill.
Ross, S. (2014). A First Course in Probability. Pearson.
Lipschutz, S., & Lipson, M. (2011). Schaum’s Outline of Discrete Mathematics. McGraw-Hill.
Anderson, I. (2002). A First Course in Combinatorial Mathematics. Oxford University Press.
Brualdi, R. A. (2010). Introductory Combinatorics. Pearson.

5.1 Recap Singkat Minggu 4

5.2 Kombinatorika Dalam Kalkulasi Peluang Diskret.

5.2.1 Mengapa Kombinatorika Penting dalam Peluang?

5.3 PRINSIP DASAR KOMBINATORIKA

5.3.1 Kaidah Perkalian (Multiplication Rule)

5.3.2 Kaidah Penjumlahan (Addition Rule)

5.4 PERMUTASI

5.4.1 Permutasi Tanpa Pengulangan

5.4.2 Permutasi dengan Pengulangan

5.4.3 Permutasi Siklik

5.5 KOMBINASI

5.5.1 Kombinasi Tanpa Pengulangan

5.5.2 Kombinasi dengan Pengulangan

5.6 PERBEDAAN PERMUTASI DAN KOMBINASI

5.7 APLIKASI DALAM PELUANG DISKRET

5.7.1 Prinsip Dasar

5.7.2 Contoh Aplikasi: Kartu

5.7.3 Contoh Aplikasi: Lotere

5.7.4 Contoh Aplikasi: Quality Control

5.7.5 Contoh Aplikasi: Distribusi Objek

5.7.6 Contoh Aplikasi: Poker

5.8 STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH

5.8.1 Langkah-Langkah Umum

5.8.2 Tabel Bantuan Pemilihan Formula

5.9 RINGKASAN FORMULA PENTING

5.9.1 Prinsip Dasar

5.9.2 Permutasi

5.9.3 Kombinasi

5.9.4 Hubungan

5.9.5 Faktorial

5.10 Bank Soal Latihan

5.11 REFERENSI