4  Eksperimen Acak, Ruang Sampel, dan Kejadian - Latihan Soal

Simbol & Notasi yang Perlu Diingat

• \(S\) = ruang sampel
• \(n(S)\) = banyaknya anggota ruang sampel
• \(A, B, C\) = kejadian
• \(n(A)\) = banyaknya anggota kejadian \(A\)
• \(P(A)\) = peluang kejadian \(A\)
• \(P(S) = 1\) = peluang ruang sampel
• \(P(\varnothing) = 0\) = peluang himpunan kosong
• \(A \cup B\) = gabungan kejadian \(A\) dan \(B\)
• \(A \cap B\) = irisan kejadian \(A\) dan \(B\)
• \(A^c\) = komplemen kejadian \(A\), dengan \(P(A^c) = 1 - P(A)\)
• \(A \subseteq B\) = \(A\) bagian dari \(B\)
• \(A \setminus B\) = selisih himpunan \(A\) terhadap \(B\)
• \(\varnothing\) = himpunan kosong
• {} = notasi himpunan

Aturan Dasar Peluang

• \(0 \leq P(A) \leq 1\)
• \(P(S) = 1\)
• \(P(A^c) = 1 - P(A)\)

Aturan Penjumlahan

• Umum: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
• Jika \(A\) dan \(B\) saling lepas: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

Peluang Bersyarat

• \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\), dengan \(P(B) > 0\)

Aturan Perkalian

• Umum: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B)\)
• Jika \(A\) dan \(B\) independen: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)

Kejadian Saling Lepas vs Independen

• Saling lepas (mutually exclusive): tidak bisa terjadi bersamaan.

  • Definisi: \(A\cap B=\varnothing\) sehingga \(P(A\cap B)=0\).
  • Konsekuensi: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).
  • Contoh: lempar dadu, \(A=\{\text{genap}\}\), \(B=\{\text{ganjil}\}\).
  • Catatan penting: jika \(P(A)>0\) dan \(P(B)>0\), maka pasti tidak independen karena \(P(A)P(B)>0\) tetapi \(P(A\cap B)=0\).

• Independen (independent): kejadian satu tidak mengubah peluang yang lain.

  • Definisi setara: \(P(A\mid B)=P(A)\) dengan \(P(B)>0\) atau \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
  • Contoh 1: dua lempar koin, \(A=\{\text{kepala lemparan 1}\}\), \(B=\{\text{kepala lemparan 2}\}\).
  • Contoh 2: lempar dadu, \(A=\{\text{genap}\}\) \(P(A)=1/2\), \(B=\{\text{kelipatan 3}\}\) \(P(B)=1/3\).
  • \(A\cap B=\{6\}\Rightarrow P(A\cap B)=1/6=P(A)P(B)\) jadi independen.

Ringkas beda utamanya:

• Saling lepas: ketidakmungkinan bersama \(\Rightarrow P(A\cap B)=0\).
• Independen: ketidakpengaruh-an \(\Rightarrow P(A\cap B)=P(A)P(B)\).

4.1 Bank Soal

1. Sebuah dadu bersisi 6 dilempar sekali. Tentukan ruang sampel dan jumlah ruang sampel dari percobaan ini.

S={1,3,5}, n(S)=3S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6S={1,2,3,4,5}, n(S)=5S={2,3,4,5,6}, n(S)=5

Jawaban benar: S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6.

2. Dalam pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian angka genap. Tentukan anggota kejadian A, jumlah anggota kejadian A, dan peluang kejadian A.

A={2,4,6}, n(A)=3, P=1/2A={2,3,5}, n(A)=3, P=1/2A={1,3,5}, n(A)=3, P=1/2A={1,2,3,4,5,6}, n(A)=6, P=1

Jawaban benar: A={2,4,6}, n(A)=3, P=1/2.

3. Sebuah koin logam (sisi angka dan gambar) dilempar dua kali. Berapa banyak anggota ruang sampel? Berapa peluang muncul tepat 1 sisi gambar?

S={AA,GG}, n(S)=2, P=1/2S={AG,GA}, n(S)=2, P=1S={AA,AG,GA,GG}, n(S)=4, P=1/2S={A,G}, n(S)=2, P=1/2

Jawaban benar: S={AA,AG,GA,GG}, n(S)=4, tepat satu gambar {AG,GA}, peluang 2/4=1/2.

4. Sebuah dadu bersisi 6 dilempar sekali. Berapa peluang munculnya bilangan prima?

P=2/3, bilangan prima {2,3,5,7}P=1/3, bilangan prima {2,3}P=1/2, bilangan prima {2,3,5}P=1/6, bilangan prima {5}

Jawaban benar: bilangan prima pada dadu {2,3,5}, peluang 3/6=1/2.

(5a) Sebuah dadu bersisi 6 dilempar sekali. Z adalah kejadian bilangan ganjil, Q adalah kejadian bilangan prima. Tentukan anggota kejadian Z dan Q.

Z={1,3,5}, Q={2,3,5}.

(5b) Tentukan anggota Z ∪ Q dan Z ∩ Q.

Z ∪ Q={1,2,3,5}, Z ∩ Q={3,5}.

(5c) Tentukan peluang Z ∪ Q dan Z ∩ Q.

P(Z ∪ Q)=2/3, P(Z ∩ Q)=1/3.

(5d) Tentukan peluang Z^c.

Z^c={2,4,6}, P(Z^c)=1/2.

(5e) Tentukan peluang Z ∪ Q^c.

Q^c={1,4,6}, Z ∪ Q^c={1,3,4,5,6}, P=5/6.

(5f) Tentukan peluang (Z ∪ Q)^c.

(Z ∪ Q)^c={4,6}, P=1/3.

6. Dua dadu fair dilempar sekali. Berapa peluang jumlah mata = 7?

P=1/12P=1/3P=1/36P=1/6

Pasangan jumlah 7: {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} ada 6 dari 36. Peluang 6/36=1/6.

7. Tiga kali lempar koin fair. Berapa peluang tepat 2 sisi gambar?

P=5/8P=1/4P=1/2P=3/8

C(3,2)=3 susunan, total 2^3=8. Peluang 3/8.

8. Dadu sekali. Z=bilangan ganjil, Q=bilangan prima. Hitung P(Z | Q).

Q={2,3,5}, Z∩Q={3,5}. P(Z|Q)=|{3,5}|/|{2,3,5}|=2/3.

9. Dadu sekali. A=kelipatan 3, B=bilangan >4. Apakah A dan B independen?

Saling lepasIndependenSaling lepas dan independenTidak independen

A={3,6}, P(A)=1/3. B={5,6}, P(B)=1/3. A∩B={6}, P=1/6. P(A)P(B)=1/9≠1/6 ⇒ tidak independen.

10. Dua dadu fair. Berapa peluang keduanya bernilai genap?

P=1/3P=1/4P=1/2P=1/6

Setiap dadu genap dengan peluang 1/2. Keduanya genap: (1/2)*(1/2)=1/4.

11. Dua dadu fair. Berapa peluang minimal satu dadu bernilai 6?

P=11/36P=5/18P=1/6P=25/36

Komplemen: tidak ada 6 = (5/6)^2=25/36. Jadi 1−25/36=11/36.

12. Sebuah dadu dilempar sekali. Hitung peluang muncul bilangan ganjil dengan syarat hasil lebih dari 3, \(P(\text{ganjil} \mid >3)\).

Rumus peluang bersyarat: \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\).

Di sini \(B=\{4,5,6\}\), \(A=\{1,3,5\}\). \(Irisan = \{5\}\), sehingga \(P(A \cap B)=1/6\), \(P(B)=3/6\). Maka \(P(A \mid B)=\dfrac{1/6}{3/6} = 1/3\).

13. Dadu sekali. A={1,2,3,4} dan B={3,4,5,6}. Tentukan A  B.

{1,2}

14. Manakah yang benar?

A={1,3,5} dan B={2,4,6} ⇒ A ⊆ BA={2,4,6} dan B={2,4} ⇒ A ⊆ BA={2,4} dan B={1,3,5} ⇒ A ⊆ BA={2,4} dan B={2,4,6} ⇒ A ⊆ B

Hanya {2,4} ⊆ {2,4,6} yang benar.

15. Diketahui P(A)=0.4, P(B)=0.5, dan P(A ∩ B)=0.2. Hitung P(A ∪ B).

0.30.70.90.6

P(A ∪ B)=0.4+0.5−0.2=0.7.

16. A dan B saling lepas dengan P(A)=1/3 dan P(B)=1/6. Hitung P(A ∪ B).

1/62/31/31/2

Saling lepas ⇒ P(A ∪ B)=1/3+1/6=1/2.

17. Dadu sekali. B=bilangan genap, C=bilangan >3. Hitung P(C | B).

B={2,4,6}. C∩B={4,6}. Jadi 2/3.

18. Diketahui P(A)=1/2 dan P(B | A)=2/3. Hitung P(A ∩ B).

1/32/33/41/6

P(A ∩ B)=P(A)·P(B|A)=1/2·2/3=1/3.

19. Diketahui P(A)=1/2, P(B)=1/3, P(A ∩ B)=1/6. Tentukan hubungan A dan B.

Saling lepasSaling lepas dan independenIndependenTidak independen

P(A)P(B)=1/6= P(A ∩ B) ⇒ independen.

20. P(A)=0.35. Hitung P(A^c).

0.65

21. Pilih pernyataan yang benar.

P(S)=1 dan P(∅)=1P(S)=0 dan P(∅)=1P(S)=0 dan P(∅)=0P(S)=1 dan P(∅)=0

Ruang sampel selalu 1, himpunan kosong 0.

22. Manakah yang tidak mungkin menjadi nilai peluang?

10.30−0.1

Peluang harus di [0,1].

23. Dadu sekali. Z=ganjil, Q=prima. Hitung P(Z ∩ Q^c).

Q^c={1,4,6}, Z ∩ Q^c={1}, P=1/6.

24. Jika A dan B saling lepas serta P(A)>0 dan P(B)>0, maka A dan B independen. Benar atau salah?

SalahTergantung P(A)Tidak dapat ditentukanBenar

Salah. Saling lepas dengan peluang positif ⇒ P(A ∩ B)=0 ≠ P(A)P(B).

1. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Dua bola diambil secara acak tanpa pengembalian.

1. Berapa peluang kedua bola berwarna merah?
2. Berapa peluang bola pertama merah dan bola kedua biru?

1. Kedua bola merah:

• Total bola = 10
• P(merah pertama) = 5/10
• P(merah kedua | merah pertama) = 4/9
• P(kedua merah) = (5/10) × (4/9) = 2/9

2. Pertama merah, kedua biru:

• P(merah pertama) = 5/10
• P(biru kedua | merah pertama) = 3/9
• P(merah lalu biru) = (5/10) × (3/9) = 1/6

2. Dalam pelemparan tiga koin sekaligus, kejadian A adalah “muncul tepat 2 gambar” dan kejadian B adalah “muncul minimal 2 gambar”.

1. Tentukan anggota A dan B
2. Apakah A ⊆ B? Jelaskan!
3. Hitung P(B|A)

1. Anggota A dan B:

• Ruang sampel S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, n(S) = 8
• A (tepat 2 gambar) = {AGG, GAG, GGA}, n(A) = 3
• B (minimal 2 gambar) = {AGG, GAG, GGA, GGG}, n(B) = 4

2. Ya, A ⊆ B karena semua anggota A ada dalam B

3. P(B|A) = 1 (karena A ⊆ B, maka A ∩ B = A)

3. Diketahui P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, dan P(A ∪ B) = 0.8.

1. Hitung P(A ∩ B)
2. Hitung P(A|B)
3. Apakah A dan B independen? Buktikan!

1. P(A ∩ B): P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 0.8 = 0.6 + 0.5 - P(A ∩ B) P(A ∩ B) = 0.3

2. P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.3 / 0.5 = 0.6

3. Independen: P(A) × P(B) = 0.6 × 0.5 = 0.3 P(A ∩ B) = 0.3 Karena sama, maka A dan B INDEPENDEN.

4. Sebuah dadu merah dan dadu biru dilempar bersamaan. Kejadian M adalah “jumlah mata dadu = 8” dan kejadian N adalah “hasil kali mata dadu genap”.

1. Tentukan n(M) dan n(N)
2. Hitung P(M ∩ N)
3. Hitung P(M ∪ N)

1. n(M) dan n(N):

• M (jumlah = 8): {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}, n(M) = 5
• N (hasil kali genap): Komplemen kedua ganjil = 9, jadi n(N) = 36 - 9 = 27

2. P(M ∩ N): Dari M yang hasil kalinya genap: {(2,6), (4,4), (6,2)}, n(M ∩ N) = 3 P(M ∩ N) = 3/36 = 1/12

3. P(M ∪ N) = 5/36 + 27/36 - 3/36 = 29/36

5. Dalam sebuah kelas terdapat 40 siswa: 25 laki-laki dan 15 perempuan. Dari laki-laki, 15 orang memakai kacamata. Dari perempuan, 9 orang memakai kacamata. Jika dipilih 1 siswa secara acak:

1. Berapa peluang terpilih siswa perempuan yang memakai kacamata?
2. Jika yang terpilih memakai kacamata, berapa peluang dia laki-laki?

a) P=9/40=0.225, b) P(Laki-laki|Berkacamata)=9/24=3/8=0.375a) P=9/40=0.225, b) P(Laki-laki|Berkacamata)=15/24=5/8=0.625a) P=15/40=0.375, b) P(Laki-laki|Berkacamata)=9/24=3/8=0.375a) P=15/40=0.375, b) P(Laki-laki|Berkacamata)=15/24=5/8=0.625

1. Perempuan berkacamata = 9, Total = 40, P = 9/40 = 0.225

2. Total berkacamata = 24, Laki-laki berkacamata = 15 P(Laki-laki | Berkacamata) = 15/24 = 5/8 = 0.625

6. Kejadian A dan B saling lepas dengan P(A) = 0.4 dan P(A ∪ B) = 0.7.

1. Hitung P(B)
2. Hitung P(A ∩ B)
3. Apakah mungkin A dan B independen? Jelaskan!

1. P(B): Karena saling lepas: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 0.7 = 0.4 + P(B) P(B) = 0.3

2. P(A ∩ B) = 0 (saling lepas)

3. Tidak mungkin independen: Jika independen: P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 0.12 Tapi saling lepas: P(A ∩ B) = 0 0 ≠ 0.12, maka TIDAK INDEPENDEN

7. Tiga kartu diambil secara acak dari 52 kartu bridge tanpa pengembalian. Berapa peluang ketiga kartu tersebut adalah kartu As?

P=1/663P=1/5525P=1/2652P=1/1326

Ada 4 kartu As dalam 52 kartu. P(As pertama) = 4/52 P(As kedua | As pertama) = 3/51 P(As ketiga | 2 As terambil) = 2/50

P(3 As) = (4/52) × (3/51) × (2/50) = 24/132,600 = 1/5,525

8. Dalam pelemparan sebuah dadu, didefinisikan:

• Kejadian X = {bilangan ≤ 4}
• Kejadian Y = {bilangan kelipatan 2}
• Kejadian Z = {bilangan kelipatan 3}

1. Tentukan X ∩ Y ∩ Z
2. Hitung P(X ∪ Y ∪ Z)
3. Hitung P((X ∩ Y)^c)

X = {1, 2, 3, 4}, Y = {2, 4, 6}, Z = {3, 6}

1. X ∩ Y = {2, 4} X ∩ Y ∩ Z = ∅ (tidak ada bilangan yang memenuhi ketiga syarat)

2. X ∪ Y ∪ Z = {1, 2, 3, 4, 6} P(X ∪ Y ∪ Z) = 5/6

3. X ∩ Y = {2, 4} (X ∩ Y)^c = {1, 3, 5, 6} P((X ∩ Y)^c) = 4/6 = 2/3

9. Sebuah tes medis untuk mendeteksi penyakit memiliki karakteristik:

• 95% akurat jika pasien benar sakit (true positive)
• 90% akurat jika pasien sehat (true negative)
• Prevalensi penyakit di populasi adalah 2%

Jika seseorang dites dan hasilnya NEGATIF, berapa peluang dia benar-benar sehat?

P(Sehat|Negatif) ≈ 0.98 atau 98%P(Sehat|Negatif) ≈ 0.90 atau 90%P(Sehat|Negatif) ≈ 0.9989 atau 99.89%P(Sehat|Negatif) ≈ 0.95 atau 95%

Gunakan Teorema Bayes: P(Sakit) = 0.02, P(Sehat) = 0.98 P(Negatif | Sehat) = 0.90 P(Negatif | Sakit) = 0.05

P(Negatif) = (0.90 × 0.98) + (0.05 × 0.02) = 0.883 P(Sehat | Negatif) = (0.90 × 0.98) / 0.883 = 0.9989

10. Empat koin fair dilempar bersamaan. Kejadian A adalah “muncul tepat 2 gambar” dan kejadian B adalah “gambar lebih banyak dari angka”.

1. Tentukan P(A) dan P(B)
2. Tentukan P(A ∩ B)
3. Hitung P(A | B)
4. Apakah A dan B independen?

1. P(A) dan P(B): Total = 16 A (tepat 2 gambar): C(4,2) = 6, P(A) = 6/16 = 3/8 B (minimal 3 gambar): C(4,3) + C(4,4) = 5, P(B) = 5/16

2. P(A ∩ B) = 0 (tidak mungkin tepat 2 sekaligus minimal 3)

3. P(A | B) = 0

4. Tidak independen: P(A) × P(B) = 3/8 × 5/16 = 15/128 P(A ∩ B) = 0 0 ≠ 15/128, maka TIDAK INDEPENDEN