Summation & Product Notation

Sigma, Pi, dan Cara Membaca Notasi Matematika

foundations

notation

Sigma notation, product notation, double sums, telescoping sums, dan manipulasi notasi.

Why This Matters for Your Work

Sigma notation adalah shorthand yang digunakan di mana-mana dalam statistik dan econometrics. Kemampuan untuk membaca, menulis, dan memanipulasi sum dengan fluent adalah skill dasar yang tidak bisa ditawar.

Contoh: OLS estimator $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'y$ dalam bentuk scalar adalah $\hat{\beta} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}$. Memahami kedua representasi ini dan konversinya adalah essential.

1 Sigma Notation Basics

\[\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n\]

Properti penting:

\[\sum_{i=1}^{n} c \cdot a_i = c \sum_{i=1}^{n} a_i \quad \text{(linearity)}\]

\[\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} b_i\]

\[\sum_{i=1}^{n} c = nc \quad \text{(constant sum)}\]

2 Double Summations

\[\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} a_{ij}\]

Order of summation bisa ditukar (untuk sum hingga yang well-defined).

Worked Example: Double Sum

Problem: Hitung $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{2} (i + j)$

Solution: \[= \sum_{i=1}^{3} [(i+1) + (i+2)] = \sum_{i=1}^{3} [2i + 3]\] \[= (2 \cdot 1 + 3) + (2 \cdot 2 + 3) + (2 \cdot 3 + 3) = 5 + 7 + 9 = 21\]

Verifikasi: - $i=1$: $(1+1) + (1+2) = 2 + 3 = 5$ - $i=2$: $(2+1) + (2+2) = 3 + 4 = 7$ - $i=3$: $(3+1) + (3+2) = 4 + 5 = 9$ - Total: $5 + 7 + 9 = 21$ ✓

Code

sum_result <- sum(outer(1:3, 1:2, "+"))
cat("Result:", sum_result)

Result: 21

3 Useful Summation Formulas

\[\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}\]

\[\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

\[\sum_{i=0}^{n} r^i = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} \quad \text{(geometric series, } r \neq 1\text{)}\]

\[\sum_{i=0}^{\infty} r^i = \frac{1}{1-r} \quad \text{(untuk } |r| < 1\text{)}\]

4 Product Notation

\[\prod_{i=1}^{n} a_i = a_1 \cdot a_2 \cdots a_n\]

Properti: \[\ln \prod_{i=1}^{n} a_i = \sum_{i=1}^{n} \ln a_i\]

Ini adalah kenapa log-likelihood mengubah product menjadi sum!

5 Telescoping Sums

\[\sum_{i=1}^{n} (a_i - a_{i-1}) = a_n - a_0\]

Banyak terms cancel out — berguna dalam time series dan recursive proofs.

Connection: Likelihood Functions

Untuk sample iid $x_1, \ldots, x_n$, likelihood adalah: \[L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta)\]

Log-likelihood: \[\ell(\theta) = \ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln f(x_i; \theta)\]

Transformasi product → sum ini membuat optimization jauh lebih tractable secara numerik.

6 Key Takeaways

6.1 Poin Utama

Sigma notation: shorthand untuk penjumlahan — baca, tulis, manipulasi dengan fluent
Double sum: order dapat ditukar untuk finite sums
Geometric series: $\sum_{i=0}^{\infty} r^i = \frac{1}{1-r}$ untuk $|r| < 1$
Product notation: $\ln \prod = \sum \ln$ — kunci untuk log-likelihood
Telescoping: $\sum (a_i - a_{i-1}) = a_n - a_0$

Sebelumnya: ← Inequalities | Selanjutnya: Calculus Module →

--- title: "Summation & Product Notation" subtitle: "Sigma, Pi, dan Cara Membaca Notasi Matematika" description: "Sigma notation, product notation, double sums, telescoping sums, dan manipulasi notasi." categories: [foundations, notation] --- ::: {.callout-note title="Why This Matters for Your Work"} Sigma notation adalah shorthand yang digunakan di mana-mana dalam statistik dan econometrics. Kemampuan untuk membaca, menulis, dan memanipulasi sum dengan fluent adalah skill dasar yang tidak bisa ditawar. Contoh: OLS estimator $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'y$ dalam bentuk scalar adalah $\hat{\beta} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}$. Memahami kedua representasi ini dan konversinya adalah essential. ::: ## Sigma Notation Basics $$\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$$ **Properti penting:** $$\sum_{i=1}^{n} c \cdot a_i = c \sum_{i=1}^{n} a_i \quad \text{(linearity)}$$ $$\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} b_i$$ $$\sum_{i=1}^{n} c = nc \quad \text{(constant sum)}$$ ## Double Summations $$\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} a_{ij}$$ Order of summation bisa ditukar (untuk sum hingga yang well-defined). ::: {.callout-tip title="Worked Example: Double Sum" collapse="true"} **Problem:** Hitung $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{2} (i + j)$ **Solution:** $$= \sum_{i=1}^{3} [(i+1) + (i+2)] = \sum_{i=1}^{3} [2i + 3]$$ $$= (2 \cdot 1 + 3) + (2 \cdot 2 + 3) + (2 \cdot 3 + 3) = 5 + 7 + 9 = 21$$ Verifikasi: - $i=1$: $(1+1) + (1+2) = 2 + 3 = 5$ - $i=2$: $(2+1) + (2+2) = 3 + 4 = 7$ - $i=3$: $(3+1) + (3+2) = 4 + 5 = 9$ - Total: $5 + 7 + 9 = 21$ ✓ ```{r} sum_result <- sum(outer(1:3, 1:2, "+")) cat("Result:", sum_result) ``` ::: ## Useful Summation Formulas $$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$ $$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\sum_{i=0}^{n} r^i = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} \quad \text{(geometric series, } r \neq 1\text{)}$$ $$\sum_{i=0}^{\infty} r^i = \frac{1}{1-r} \quad \text{(untuk } |r| < 1\text{)}$$ ## Product Notation $$\prod_{i=1}^{n} a_i = a_1 \cdot a_2 \cdots a_n$$ **Properti:** $$\ln \prod_{i=1}^{n} a_i = \sum_{i=1}^{n} \ln a_i$$ Ini adalah kenapa log-likelihood mengubah product menjadi sum! ## Telescoping Sums $$\sum_{i=1}^{n} (a_i - a_{i-1}) = a_n - a_0$$ Banyak terms cancel out — berguna dalam time series dan recursive proofs. ::: {.callout-caution title="Connection: Likelihood Functions"} Untuk sample iid $x_1, \ldots, x_n$, likelihood adalah: $$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta)$$ Log-likelihood: $$\ell(\theta) = \ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln f(x_i; \theta)$$ Transformasi product → sum ini membuat optimization jauh lebih tractable secara numerik. ::: ## Key Takeaways ::: {.key-takeaways} ### Poin Utama - Sigma notation: shorthand untuk penjumlahan — baca, tulis, manipulasi dengan fluent - Double sum: order dapat ditukar untuk finite sums - Geometric series: $\sum_{i=0}^{\infty} r^i = \frac{1}{1-r}$ untuk $|r| < 1$ - Product notation: $\ln \prod = \sum \ln$ — kunci untuk log-likelihood - Telescoping: $\sum (a_i - a_{i-1}) = a_n - a_0$ ::: **Sebelumnya:** [← Inequalities](04-inequalities.qmd) | **Selanjutnya:** [Calculus Module →](../02-calculus/index.qmd)