Number Systems

Real, Complex, dan Cara Kita Bicara tentang Bilangan

foundations

basics

Review sistem bilangan: real, kompleks, modulus, notasi interval, dan supremum/infimum.

Why This Matters for Your Work

Hampir semua math yang kita pakai beroperasi di ruang bilangan real $\mathbb{R}$ atau kompleks $\mathbb{C}$. Memahami properti bilangan-bilangan ini — bukan hanya cara menghitungnya — adalah fondasi untuk memahami konvergensi, continuity, dan bounded optimization yang muncul di mana-mana dalam econometrics dan ML.

Contoh konkret: Saat kita bilang OLS estimator “konsisten”, kita bicara tentang konvergensi urutan bilangan real. Tanpa pemahaman tentang apa itu $\mathbb{R}$ dan propertinya, klaim ini jadi magic words.

1 Sistem Bilangan: Hierarki

Bilangan-bilangan yang kita kenal punya hierarki:

\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\]

Di mana: - $\mathbb{N}$: Natural numbers (1, 2, 3, …) - $\mathbb{Z}$: Integers (…, -2, -1, 0, 1, 2, …) - $\mathbb{Q}$: Rational numbers (bisa ditulis $p/q$ dengan $p, q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$) - $\mathbb{R}$: Real numbers (termasuk $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$, dll.) - $\mathbb{C}$: Complex numbers ($a + bi$ dengan $i = \sqrt{-1}$)

1.1 Mengapa $\mathbb{R}$ Istimewa?

Real numbers punya properti yang membuatnya cocok untuk analisis:

Properti Completeness dari ℝ

$\mathbb{R}$ adalah complete ordered field. Artinya: setiap urutan Cauchy di $\mathbb{R}$ konvergen ke limit di $\mathbb{R}$.

Lebih intuitif: tidak ada “lubang” di garis bilangan real. Berbeda dengan $\mathbb{Q}$ yang punya lubang di $\sqrt{2}$, $\pi$, dll.

Properti completeness ini yang memungkinkan kita bicara tentang limit, konvergensi, dan continuity dengan benar.

2 Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks $z = a + bi$ di mana $a, b \in \mathbb{R}$ dan $i^2 = -1$.

Real part: $\text{Re}(z) = a$
Imaginary part: $\text{Im}(z) = b$
Modulus: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
Complex conjugate: $\bar{z} = a - bi$

Euler’s Formula

\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\]

Implikasinya: $e^{i\pi} + 1 = 0$ (Euler’s identity — often called “the most beautiful equation in math”)

2.1 Di Mana Bilangan Kompleks Muncul?

Eigenvalues bisa kompleks (bahkan untuk matriks real)
Characteristic roots dalam time series (AR processes)
Fourier transform menggunakan $e^{i\omega t}$

3 Notasi Interval

Notasi	Artinya	Contoh
$(a, b)$	Open: $a < x < b$	$(0, 1)$ — tidak termasuk 0 dan 1
$[a, b]$	Closed: $a \leq x \leq b$	$[0, 1]$ — termasuk 0 dan 1
$[a, b)$	Half-open	$[0, \infty)$ — nonnegative reals
$(a, \infty)$	Unbounded above	$(2, \infty)$

4 Supremum dan Infimum

Ini konsep yang sering muncul dalam teori statistik:

Definisi: Supremum & Infimum

Untuk himpunan $S \subset \mathbb{R}$:

Supremum ($\sup S$): least upper bound — bilangan terkecil yang $\geq$ semua elemen $S$
Infimum ($\inf S$): greatest lower bound — bilangan terbesar yang $\leq$ semua elemen $S$

Berbeda dengan max/min: $\sup$ dan $\inf$ tidak harus ada di dalam $S$.

Contoh: $S = (0, 1)$. Maka $\sup S = 1$ dan $\inf S = 0$, tapi 1 dan 0 bukan elemen $S$.

Worked Example: Supremum

Problem: Tentukan $\sup$ dan $\inf$ dari himpunan $S = \{1/n : n \in \mathbb{N}\} = \{1, 1/2, 1/3, 1/4, ...\}$

Solution: - $\sup S = 1$ (elemen terbesar adalah 1, yang ada di $S$) - $\inf S = 0$ (limit dari $1/n$ saat $n \to \infty$ adalah 0, tapi 0 tidak ada di $S$)

Ini contoh penting: infimum tidak harus tercapai.

Connection: Bounded Optimization

Dalam optimization, kita sering bicara tentang apakah fungsi objective punya maximum/minimum, atau hanya supremum/infimum.

Misalnya, likelihood function $L(\theta)$ yang mau di-maximize — secara teoritis, supremum-nya selalu ada (jika bounded above), tapi apakah MLE selalu exists? Tidak selalu. Ini masalah yang dibahas dalam teori regularity conditions.

5 Key Takeaways

5.1 Poin Utama

Hierarki bilangan: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$
$\mathbb{R}$ adalah complete ordered field — tidak ada “lubang”
Bilangan kompleks muncul dalam eigenvalues, time series, Fourier analysis
$\sup$ dan $\inf$ tidak harus dicapai oleh elemen himpunan
Interval notation: $(a,b)$ open, $[a,b]$ closed

Selanjutnya: Algebra Essentials →

--- title: "Number Systems" subtitle: "Real, Complex, dan Cara Kita Bicara tentang Bilangan" description: "Review sistem bilangan: real, kompleks, modulus, notasi interval, dan supremum/infimum." categories: [foundations, basics] --- ::: {.callout-note title="Why This Matters for Your Work"} Hampir semua math yang kita pakai beroperasi di ruang bilangan real $\mathbb{R}$ atau kompleks $\mathbb{C}$. Memahami *properti* bilangan-bilangan ini — bukan hanya cara menghitungnya — adalah fondasi untuk memahami konvergensi, continuity, dan bounded optimization yang muncul di mana-mana dalam econometrics dan ML. Contoh konkret: Saat kita bilang OLS estimator "konsisten", kita bicara tentang konvergensi urutan bilangan real. Tanpa pemahaman tentang apa itu $\mathbb{R}$ dan propertinya, klaim ini jadi magic words. ::: ## Sistem Bilangan: Hierarki Bilangan-bilangan yang kita kenal punya hierarki: $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$ Di mana: - $\mathbb{N}$: Natural numbers (1, 2, 3, ...) - $\mathbb{Z}$: Integers (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...) - $\mathbb{Q}$: Rational numbers (bisa ditulis $p/q$ dengan $p, q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$) - $\mathbb{R}$: Real numbers (termasuk $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$, dll.) - $\mathbb{C}$: Complex numbers ($a + bi$ dengan $i = \sqrt{-1}$) ### Mengapa $\mathbb{R}$ Istimewa? Real numbers punya properti yang membuatnya cocok untuk analisis: ::: {.callout-important title="Properti Completeness dari ℝ"} $\mathbb{R}$ adalah *complete ordered field*. Artinya: setiap urutan Cauchy di $\mathbb{R}$ konvergen ke limit di $\mathbb{R}$. Lebih intuitif: tidak ada "lubang" di garis bilangan real. Berbeda dengan $\mathbb{Q}$ yang punya lubang di $\sqrt{2}$, $\pi$, dll. ::: Properti completeness ini yang memungkinkan kita bicara tentang limit, konvergensi, dan continuity dengan benar. ## Bilangan Kompleks Bilangan kompleks $z = a + bi$ di mana $a, b \in \mathbb{R}$ dan $i^2 = -1$. - **Real part**: $\text{Re}(z) = a$ - **Imaginary part**: $\text{Im}(z) = b$ - **Modulus**: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ - **Complex conjugate**: $\bar{z} = a - bi$ ::: {.callout-important title="Euler's Formula"} $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$ Implikasinya: $e^{i\pi} + 1 = 0$ (Euler's identity — often called "the most beautiful equation in math") ::: ### Di Mana Bilangan Kompleks Muncul? - Eigenvalues bisa kompleks (bahkan untuk matriks real) - Characteristic roots dalam time series (AR processes) - Fourier transform menggunakan $e^{i\omega t}$ ## Notasi Interval | Notasi | Artinya | Contoh | |--------|---------|--------| | $(a, b)$ | Open: $a < x < b$ | $(0, 1)$ — tidak termasuk 0 dan 1 | | $[a, b]$ | Closed: $a \leq x \leq b$ | $[0, 1]$ — termasuk 0 dan 1 | | $[a, b)$ | Half-open | $[0, \infty)$ — nonnegative reals | | $(a, \infty)$ | Unbounded above | $(2, \infty)$ | ## Supremum dan Infimum Ini konsep yang sering muncul dalam teori statistik: ::: {.callout-important title="Definisi: Supremum & Infimum"} Untuk himpunan $S \subset \mathbb{R}$: - **Supremum** ($\sup S$): *least upper bound* — bilangan terkecil yang $\geq$ semua elemen $S$ - **Infimum** ($\inf S$): *greatest lower bound* — bilangan terbesar yang $\leq$ semua elemen $S$ Berbeda dengan max/min: $\sup$ dan $\inf$ tidak harus ada di dalam $S$. ::: **Contoh:** $S = (0, 1)$. Maka $\sup S = 1$ dan $\inf S = 0$, tapi 1 dan 0 bukan elemen $S$. ::: {.callout-tip title="Worked Example: Supremum" collapse="true"} **Problem:** Tentukan $\sup$ dan $\inf$ dari himpunan $S = \{1/n : n \in \mathbb{N}\} = \{1, 1/2, 1/3, 1/4, ...\}$ **Solution:** - $\sup S = 1$ (elemen terbesar adalah 1, yang ada di $S$) - $\inf S = 0$ (limit dari $1/n$ saat $n \to \infty$ adalah 0, tapi 0 tidak ada di $S$) Ini contoh penting: infimum tidak harus tercapai. ::: ::: {.callout-caution title="Connection: Bounded Optimization"} Dalam optimization, kita sering bicara tentang apakah fungsi objective punya maximum/minimum, atau hanya supremum/infimum. Misalnya, likelihood function $L(\theta)$ yang mau di-maximize — secara teoritis, supremum-nya selalu ada (jika bounded above), tapi apakah MLE selalu exists? Tidak selalu. Ini masalah yang dibahas dalam teori regularity conditions. ::: ## Key Takeaways ::: {.key-takeaways} ### Poin Utama - Hierarki bilangan: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ - $\mathbb{R}$ adalah complete ordered field — tidak ada "lubang" - Bilangan kompleks muncul dalam eigenvalues, time series, Fourier analysis - $\sup$ dan $\inf$ tidak harus dicapai oleh elemen himpunan - Interval notation: $(a,b)$ open, $[a,b]$ closed ::: --- **Selanjutnya:** [Algebra Essentials →](02-algebra-essentials.qmd)

Notasi	Artinya	Contoh
\((a, b)\)	Open: \(a < x < b\)	\((0, 1)\) — tidak termasuk 0 dan 1
\([a, b]\)	Closed: \(a \leq x \leq b\)	\([0, 1]\) — termasuk 0 dan 1
\([a, b)\)	Half-open	\([0, \infty)\) — nonnegative reals
\((a, \infty)\)	Unbounded above	\((2, \infty)\)