Algebra Essentials

Manipulasi Ekspresi, Factoring, dan Tricks yang Sering Muncul

foundations

algebra

Review aljabar dasar: manipulasi ekspresi, completing the square, factoring, dan binomial theorem.

Why This Matters for Your Work

Algebra adalah “grammar” dari math. Banyak derivasi econometrics dan ML yang pada dasarnya hanyalah manipulasi aljabar yang panjang. Kalau kamu tidak fasih dengan operasi-operasi ini, kamu akan kehilangan alur derivasi di tengah jalan.

Contoh: Derivasi OLS dengan completing the square, atau manipulasi logarithm dalam log-likelihood function — keduanya membutuhkan fluency aljabar yang baik.

1 Expanding & Factoring

1.1 Binomial Expansion

\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] \[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\] \[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \quad \text{(difference of squares)}\] \[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]

Binomial Theorem (general): \[(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\]

di mana $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ adalah binomial coefficient.

1.2 Completing the Square

Teknik ini crucial di banyak derivasi — termasuk dalam OLS dan distribusi normal.

Bentuk umum: $ax^2 + bx + c$

Langkah-langkah: \[ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c\]

Worked Example: Completing the Square

Problem: Selesaikan $x^2 - 6x + 5 = 0$ dengan completing the square.

Solution: \[x^2 - 6x + 5 = 0\] \[x^2 - 6x = -5\] \[x^2 - 6x + 9 = -5 + 9 \quad \text{(tambahkan } (6/2)^2 = 9 \text{ kedua sisi)}\] \[(x - 3)^2 = 4\] \[x - 3 = \pm 2\] \[x = 5 \text{ atau } x = 1\]

Metode ini lebih dari sekadar mencari akar — completing the square dipakai dalam derivasi distribusi normal dan OLS!

2 Logarithm & Exponential Rules

Ini sering muncul dalam MLE:

\[\ln(ab) = \ln a + \ln b\] \[\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\] \[\ln(a^b) = b \ln a\] \[e^{a+b} = e^a \cdot e^b\] \[\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx} e^x = e^x\]

Connection: Log-Likelihood Function

Dalam MLE, kita maximize likelihood $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta)$.

Karena products sulit dioptimasi, kita ambil log: \[\ell(\theta) = \ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln f(x_i; \theta)\]

Transformasi ini valid karena $\ln$ adalah monotone increasing function — maximizer-nya sama!

3 Fractional & Negative Exponents

\[x^{-n} = \frac{1}{x^n}, \quad x^{1/n} = \sqrt[n]{x}, \quad x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}\]

4 Key Takeaways

4.1 Poin Utama

Hafal: $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$ — muncul terus
Completing the square: kunci untuk derivasi OLS dan distribusi normal
Log rules: fundamental untuk MLE dan information theory
Binomial theorem: muncul dalam probability dan approximation theory

Sebelumnya: ← Number Systems | Selanjutnya: Functions →

--- title: "Algebra Essentials" subtitle: "Manipulasi Ekspresi, Factoring, dan Tricks yang Sering Muncul" description: "Review aljabar dasar: manipulasi ekspresi, completing the square, factoring, dan binomial theorem." categories: [foundations, algebra] --- ::: {.callout-note title="Why This Matters for Your Work"} Algebra adalah "grammar" dari math. Banyak derivasi econometrics dan ML yang pada dasarnya hanyalah manipulasi aljabar yang panjang. Kalau kamu tidak fasih dengan operasi-operasi ini, kamu akan kehilangan alur derivasi di tengah jalan. Contoh: Derivasi OLS dengan completing the square, atau manipulasi logarithm dalam log-likelihood function — keduanya membutuhkan fluency aljabar yang baik. ::: ## Expanding & Factoring ### Binomial Expansion $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \quad \text{(difference of squares)}$$ $$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ **Binomial Theorem (general):** $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$ di mana $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ adalah binomial coefficient. ### Completing the Square Teknik ini crucial di banyak derivasi — termasuk dalam OLS dan distribusi normal. **Bentuk umum:** $ax^2 + bx + c$ **Langkah-langkah:** $$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c$$ ::: {.callout-tip title="Worked Example: Completing the Square" collapse="true"} **Problem:** Selesaikan $x^2 - 6x + 5 = 0$ dengan completing the square. **Solution:** $$x^2 - 6x + 5 = 0$$ $$x^2 - 6x = -5$$ $$x^2 - 6x + 9 = -5 + 9 \quad \text{(tambahkan } (6/2)^2 = 9 \text{ kedua sisi)}$$ $$(x - 3)^2 = 4$$ $$x - 3 = \pm 2$$ $$x = 5 \text{ atau } x = 1$$ Metode ini lebih dari sekadar mencari akar — completing the square dipakai dalam derivasi distribusi normal dan OLS! ::: ## Logarithm & Exponential Rules Ini sering muncul dalam MLE: $$\ln(ab) = \ln a + \ln b$$ $$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$$ $$\ln(a^b) = b \ln a$$ $$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$$ $$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx} e^x = e^x$$ ::: {.callout-caution title="Connection: Log-Likelihood Function"} Dalam MLE, kita maximize likelihood $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta)$. Karena products sulit dioptimasi, kita ambil log: $$\ell(\theta) = \ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln f(x_i; \theta)$$ Transformasi ini valid karena $\ln$ adalah monotone increasing function — maximizer-nya sama! ::: ## Fractional & Negative Exponents $$x^{-n} = \frac{1}{x^n}, \quad x^{1/n} = \sqrt[n]{x}, \quad x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}$$ ## Key Takeaways ::: {.key-takeaways} ### Poin Utama - Hafal: $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$ — muncul terus - Completing the square: kunci untuk derivasi OLS dan distribusi normal - Log rules: fundamental untuk MLE dan information theory - Binomial theorem: muncul dalam probability dan approximation theory ::: **Sebelumnya:** [← Number Systems](01-number-systems.qmd) | **Selanjutnya:** [Functions →](03-functions.qmd)