Integrals

Akumulasi, Area, dan Expectation sebagai Integral

calculus

integrals

integration

Fundamental Theorem of Calculus, teknik integrasi, improper integrals, dan integrals dalam probabilitas.

Why This Matters for Your Work

Integral adalah “akumulasi” — dan banyak konsep statistik adalah bentuk akumulasi. Expectation, variance, CDF, normalizing constants dalam distribusi — semuanya adalah integral.

Contoh spesifik: - Expected value dari distribusi continuous: $\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx$ - Normalizing constant distribusi normal: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, dx = \sqrt{2\pi}$ - Marginal density: $f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dy$ - Moment generating function: $M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] = \int e^{tx} f(x) \, dx$

1 Definite vs. Indefinite Integral

Indefinite integral (antiderivative): \[\int f(x) \, dx = F(x) + C\] di mana $F'(x) = f(x)$ dan $C$ adalah konstanta sembarang.

Definite integral (area under curve dari $a$ ke $b$): \[\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x\]

di mana $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ dan $x_i^*$ adalah titik sampel di subinterval ke-$i$ (Riemann sum).

2 Fundamental Theorem of Calculus (FTC)

Fundamental Theorem of Calculus

Part 1: Jika $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$, maka $F'(x) = f(x)$.

(Turunan dari integral adalah integrand itu sendiri.)

Part 2: Jika $F$ adalah antiderivative dari $f$, maka: \[\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\]

FTC adalah jembatan yang menghubungkan differentiation dan integration — keduanya adalah operasi invers satu sama lain.

3 Integral Dasar

\[\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)\] \[\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\] \[\int e^x \, dx = e^x + C\] \[\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C\] \[\int \sin x \, dx = -\cos x + C\] \[\int \cos x \, dx = \sin x + C\]

4 Teknik Integrasi

4.1 U-Substitution (Integration by Substitution)

Analog dengan chain rule untuk differentiation.

Jika $u = g(x)$, maka $du = g'(x) \, dx$: \[\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du\]

Worked Example: U-Substitution

Problem: Hitung $\int x e^{x^2} \, dx$

Solution: Set $u = x^2$, maka $du = 2x \, dx$, sehingga $x \, dx = \frac{du}{2}$.

\[\int x e^{x^2} \, dx = \int e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C\]

Verifikasi: $\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2} e^{x^2}\right] = \frac{1}{2} e^{x^2} \cdot 2x = x e^{x^2}$ ✓

4.2 Integration by Parts

Analog dengan product rule untuk differentiation: \[\int u \, dv = uv - \int v \, du\]

atau ekuivalen: $\int f(x) g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx$

LIATE rule untuk memilih $u$: Logarithms, Inverse trig, Algebraic, Trigonometric, Exponential (pilih yang pertama muncul sebagai $u$).

Worked Example: Integration by Parts

Problem: Hitung $\int x e^x \, dx$

Solution: Pilih $u = x$ dan $dv = e^x \, dx$, sehingga $du = dx$ dan $v = e^x$.

\[\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C\]

Mengapa ini muncul dalam statistik? Momen-momen distribusi exponential: $\mathbb{E}[X] = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} \, dx$ memerlukan integration by parts.

5 Improper Integrals

Ketika batas integrasi adalah $\pm\infty$ atau integrand tidak terbatas:

\[\int_a^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx\]

\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty, b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx\]

Contoh penting: \[\int_0^{\infty} e^{-x} \, dx = 1 \quad \text{(normalizing constant distribusi exponential)}\] \[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, dx = \sqrt{2\pi} \quad \text{(Gaussian integral)}\]

6 Integral dalam Probabilitas & Statistik

Expectation sebagai Integral

Untuk random variable $X$ dengan PDF $f(x)$:

\[\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx\]

\[\mathbb{E}[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) \, dx \quad \text{(LOTUS: Law of the Unconscious Statistician)}\]

\[\text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 = \int x^2 f(x) \, dx - \left(\int x f(x) \, dx\right)^2\]

Connection: CDF dan PDF

Untuk continuous random variable $X$:

CDF: $F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$

PDF dari CDF: $f(x) = F'(x)$ (FTC Part 1!)

Probabilitas pada interval: $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

Setiap valid PDF harus memenuhi: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$

7 Gaussian Integral dan Normal Distribution

Integral paling penting dalam statistik:

\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx = \sigma\sqrt{2\pi}\]

Ini adalah kenapa PDF normal $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ punya faktor $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ — untuk memastikan integral PDF = 1.

Practice Problems

Problem 1: Hitung $\int_0^1 x^3(1-x)^2 \, dx$

(Hint: expand $(1-x)^2$ terlebih dahulu)

Problem 2: Untuk $X \sim \text{Exponential}(\lambda)$ dengan PDF $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ untuk $x \geq 0$: - (a) Verifikasi bahwa $\int_0^\infty f(x) \, dx = 1$ - (b) Hitung $\mathbb{E}[X] = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} \, dx$

Problem 3: Buktikan bahwa untuk distribusi normal standar $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$: \[\mathbb{E}[Z^2] = \int_{-\infty}^{\infty} z^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \, dz = 1\]

(Hint: gunakan integration by parts dengan $u = z$ dan $dv = z e^{-z^2/2} dz$)

8 Key Takeaways

8.1 Poin Utama

FTC: differentiation dan integration adalah operasi invers — $\frac{d}{dx}\int_a^x f = f(x)$ dan $\int_a^b f = F(b) - F(a)$
U-substitution: analog chain rule untuk integrasi
Integration by parts: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ — analog product rule
Improper integrals: penting untuk distribusi probabilitas di $(-\infty, \infty)$
Expectation = integral: $\mathbb{E}[g(X)] = \int g(x) f(x) \, dx$
CDF adalah integral dari PDF (dan PDF adalah turunan dari CDF)
Gaussian integral: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, dx = \sqrt{2\pi}$ — kunci normalizing constant distribusi normal

Sebelumnya: ← Derivatives | Selanjutnya: Multivariate Calculus →

--- title: "Integrals" subtitle: "Akumulasi, Area, dan Expectation sebagai Integral" description: "Fundamental Theorem of Calculus, teknik integrasi, improper integrals, dan integrals dalam probabilitas." categories: [calculus, integrals, integration] --- ::: {.callout-note title="Why This Matters for Your Work"} Integral adalah "akumulasi" — dan banyak konsep statistik adalah bentuk akumulasi. Expectation, variance, CDF, normalizing constants dalam distribusi — semuanya adalah integral. Contoh spesifik: - **Expected value** dari distribusi continuous: $\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx$ - **Normalizing constant** distribusi normal: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, dx = \sqrt{2\pi}$ - **Marginal density**: $f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dy$ - **Moment generating function**: $M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] = \int e^{tx} f(x) \, dx$ ::: ## Definite vs. Indefinite Integral **Indefinite integral** (antiderivative): $$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$ di mana $F'(x) = f(x)$ dan $C$ adalah konstanta sembarang. **Definite integral** (area under curve dari $a$ ke $b$): $$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x$$ di mana $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ dan $x_i^*$ adalah titik sampel di subinterval ke-$i$ (Riemann sum). ## Fundamental Theorem of Calculus (FTC) ::: {.callout-important title="Fundamental Theorem of Calculus"} **Part 1:** Jika $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$, maka $F'(x) = f(x)$. (Turunan dari integral adalah integrand itu sendiri.) **Part 2:** Jika $F$ adalah antiderivative dari $f$, maka: $$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$ FTC adalah jembatan yang menghubungkan differentiation dan integration — keduanya adalah operasi invers satu sama lain. ::: ## Integral Dasar $$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$ $$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$$ $$\int e^x \, dx = e^x + C$$ $$\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$$ $$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x \, dx = \sin x + C$$ ## Teknik Integrasi ### U-Substitution (Integration by Substitution) Analog dengan chain rule untuk differentiation. Jika $u = g(x)$, maka $du = g'(x) \, dx$: $$\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$$ ::: {.callout-tip title="Worked Example: U-Substitution" collapse="true"} **Problem:** Hitung $\int x e^{x^2} \, dx$ **Solution:** Set $u = x^2$, maka $du = 2x \, dx$, sehingga $x \, dx = \frac{du}{2}$. $$\int x e^{x^2} \, dx = \int e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$$ **Verifikasi:** $\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2} e^{x^2}\right] = \frac{1}{2} e^{x^2} \cdot 2x = x e^{x^2}$ ✓ ::: ### Integration by Parts Analog dengan product rule untuk differentiation: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ atau ekuivalen: $\int f(x) g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx$ **LIATE rule** untuk memilih $u$: Logarithms, Inverse trig, Algebraic, Trigonometric, Exponential (pilih yang pertama muncul sebagai $u$). ::: {.callout-tip title="Worked Example: Integration by Parts" collapse="true"} **Problem:** Hitung $\int x e^x \, dx$ **Solution:** Pilih $u = x$ dan $dv = e^x \, dx$, sehingga $du = dx$ dan $v = e^x$. $$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$$ **Mengapa ini muncul dalam statistik?** Momen-momen distribusi exponential: $\mathbb{E}[X] = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} \, dx$ memerlukan integration by parts. ::: ## Improper Integrals Ketika batas integrasi adalah $\pm\infty$ atau integrand tidak terbatas: $$\int_a^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$$ $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty, b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$$ **Contoh penting:** $$\int_0^{\infty} e^{-x} \, dx = 1 \quad \text{(normalizing constant distribusi exponential)}$$ $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, dx = \sqrt{2\pi} \quad \text{(Gaussian integral)}$$ ## Integral dalam Probabilitas & Statistik ::: {.callout-important title="Expectation sebagai Integral"} Untuk random variable $X$ dengan PDF $f(x)$: $$\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$$ $$\mathbb{E}[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) \, dx \quad \text{(LOTUS: Law of the Unconscious Statistician)}$$ $$\text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 = \int x^2 f(x) \, dx - \left(\int x f(x) \, dx\right)^2$$ ::: ::: {.callout-caution title="Connection: CDF dan PDF"} Untuk continuous random variable $X$: **CDF**: $F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$ **PDF dari CDF**: $f(x) = F'(x)$ (FTC Part 1!) **Probabilitas pada interval**: $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ Setiap valid PDF harus memenuhi: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$ ::: ## Gaussian Integral dan Normal Distribution Integral paling penting dalam statistik: $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx = \sigma\sqrt{2\pi}$$ Ini adalah kenapa PDF normal $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ punya faktor $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ — untuk memastikan integral PDF = 1. ::: {.callout-warning title="Practice Problems" collapse="true"} **Problem 1:** Hitung $\int_0^1 x^3(1-x)^2 \, dx$ *(Hint: expand $(1-x)^2$ terlebih dahulu)* **Problem 2:** Untuk $X \sim \text{Exponential}(\lambda)$ dengan PDF $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ untuk $x \geq 0$: - (a) Verifikasi bahwa $\int_0^\infty f(x) \, dx = 1$ - (b) Hitung $\mathbb{E}[X] = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} \, dx$ **Problem 3:** Buktikan bahwa untuk distribusi normal standar $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$: $$\mathbb{E}[Z^2] = \int_{-\infty}^{\infty} z^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \, dz = 1$$ *(Hint: gunakan integration by parts dengan $u = z$ dan $dv = z e^{-z^2/2} dz$)* ::: ## Key Takeaways ::: {.key-takeaways} ### Poin Utama - FTC: differentiation dan integration adalah operasi invers — $\frac{d}{dx}\int_a^x f = f(x)$ dan $\int_a^b f = F(b) - F(a)$ - U-substitution: analog chain rule untuk integrasi - Integration by parts: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ — analog product rule - Improper integrals: penting untuk distribusi probabilitas di $(-\infty, \infty)$ - Expectation = integral: $\mathbb{E}[g(X)] = \int g(x) f(x) \, dx$ - CDF adalah integral dari PDF (dan PDF adalah turunan dari CDF) - Gaussian integral: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, dx = \sqrt{2\pi}$ — kunci normalizing constant distribusi normal ::: **Sebelumnya:** [← Derivatives](02-derivatives.qmd) | **Selanjutnya:** [Multivariate Calculus →](04-multivariate-calc.qmd)