Limits & Continuity

Fondasi Formal dari Calculus

calculus

limits

continuity

Epsilon-delta definition, sifat limits, L’Hopital’s rule, continuity, dan limits penting yang sering muncul.

Why This Matters for Your Work

Limits adalah bahasa formal untuk mendefinisikan apa yang terjadi saat kita mendekati sesuatu tanpa benar-benar mencapainya. Dalam statistik dan econometrics, konsep ini muncul terus-menerus:

Konsistensi estimator: $\hat{\theta}_n \xrightarrow{p} \theta$ saat $n \to \infty$ — ini adalah limit (dalam probabilitas)
Asymptotic theory: hampir semua teori large-sample bergantung pada perilaku limit
Continuity of probability: $P(\lim_{n\to\infty} A_n) = \lim_{n\to\infty} P(A_n)$ — valid hanya dengan kondisi tertentu
Numerical methods: convergence criterion dalam iterative algorithms (EM algorithm, MCMC) didefinisikan via limits

1 Intuisi: Apa Itu Limit?

Sebelum definisi formal, mari bangun intuisi. Limit $\lim_{x \to a} f(x) = L$ artinya: semakin $x$ mendekati $a$, nilai $f(x)$ semakin mendekati $L$.

Perhatikan: kita peduli pada apa yang terjadi dekat $a$, bukan di $a$ itu sendiri. $f(a)$ bahkan tidak perlu terdefinisi!

Contoh sederhana: \[\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4\]

Fungsi $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ tidak terdefinisi di $x = 2$, tapi limitnya adalah 4.

2 Definisi Formal: Epsilon-Delta

Definisi Epsilon-Delta (Cauchy)

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ jika dan hanya jika:

Untuk setiap $\varepsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sehingga: \[0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon\]

Dalam bahasa sehari-hari: “Untuk seberapa pun kecil toleransi $\varepsilon$ yang kamu minta, saya bisa temukan jangkauan $\delta$ di sekitar $a$ sehingga nilai fungsi selalu berada dalam toleransi $\varepsilon$ dari $L$.”

Definisi ini mungkin terlihat berbelit, tapi inilah yang membuat calculus rigorous. Untuk keperluan kita, yang lebih penting adalah mengenali dan menggunakan sifat-sifat limit.

3 Sifat-sifat Limit

Jika $\lim_{x \to a} f(x) = L$ dan $\lim_{x \to a} g(x) = M$, maka:

\[\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M\] \[\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M\] \[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \quad \text{(jika } M \neq 0\text{)}\] \[\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot L\]

Squeeze Theorem: Jika $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ di sekitar $a$ dan $\lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x) = L$, maka $\lim_{x\to a} f(x) = L$.

4 Limits Penting

Beberapa limits yang muncul berulang kali:

\[\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x\]

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]

\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\]

\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\]

\[\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^p} = 0 \quad \text{untuk } p > 0 \text{ (log grows slower than any power)}\]

Worked Example: L’Hopital’s Rule

Problem: Hitung $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$

Setup: Substitusi $x = 0$ langsung memberikan $\frac{0}{0}$ — indeterminate form.

L’Hopital’s Rule: Jika $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ atau $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$, maka: \[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]

Solution: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}\]

Ini juga bisa didapat dari Taylor series: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots$, jadi $\frac{e^x - 1 - x}{x^2} \approx \frac{x^2/2}{x^2} = \frac{1}{2}$.

5 Continuity

Definisi: Continuity

Fungsi $f$ continuous di titik $a$ jika ketiga kondisi ini terpenuhi:

$f(a)$ terdefinisi
$\lim_{x \to a} f(x)$ ada
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

$f$ continuous di interval jika continuous di setiap titik interval tersebut.

5.1 Tipe Discontinuity

Removable: limit ada, tapi $f(a)$ tidak terdefinisi atau $\neq$ limit (contoh: $\frac{x^2-4}{x-2}$ di $x=2$)
Jump: left limit $\neq$ right limit (contoh: fungsi step)
Infinite: $f(x) \to \pm\infty$ di $x = a$ (contoh: $\frac{1}{x}$ di $x = 0$)

5.2 Teorema Penting tentang Continuous Functions

Intermediate Value Theorem (IVT)

Jika $f$ continuous di $[a, b]$ dan $f(a) \neq f(b)$, maka untuk setiap nilai $c$ di antara $f(a)$ dan $f(b)$, terdapat $x_0 \in (a, b)$ sehingga $f(x_0) = c$.

Implikasi praktis: IVT menjamin existence of solutions untuk persamaan $f(x) = 0$ — digunakan dalam numerical root-finding methods.

Extreme Value Theorem (EVT)

Jika $f$ continuous di interval tertutup terbatas $[a, b]$, maka $f$ mencapai maximum dan minimum di $[a, b]$.

Ini penting untuk optimization: menjamin bahwa masalah minimisasi punya solusi (di bawah kondisi tertentu).

6 Uniform Continuity

Continuous biasa hanya mensyaratkan: untuk setiap $x$ dan $\varepsilon$, terdapat $\delta$ (yang bisa bergantung pada $x$).

Uniformly continuous: $\delta$ bisa dipilih seragam untuk semua $x$ — properti yang lebih kuat, penting dalam analisis fungsional.

Connection: Continuity dalam Statistik

Continuity muncul dalam teori statistik dalam beberapa cara:

Continuous mapping theorem: Jika $X_n \xrightarrow{d} X$ dan $g$ continuous, maka $g(X_n) \xrightarrow{d} g(X)$. Ini dipakai dalam delta method.
Density functions: PDF harus non-negative dan integrate ke 1 — biasanya assumed continuous untuk memudahkan analisis.
Regularity conditions dalam MLE: Log-likelihood sering diasumsikan continuous (dan differentiable) dalam $\theta$ agar FOC valid.

7 Key Takeaways

7.1 Poin Utama

Limit mendefinisikan perilaku fungsi mendekati suatu titik — bukan nilai di titik itu
Epsilon-delta: definisi formal yang membuat calculus rigorous
L’Hopital’s rule: untuk indeterminate forms $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$
Continuity: limit ada, terdefinisi, dan keduanya sama
EVT: fungsi continuous di $[a,b]$ pasti punya max dan min — kunci untuk optimization existence
Continuous mapping theorem: penting untuk asymptotic theory di statistik

Selanjutnya: Derivatives →

--- title: "Limits & Continuity" subtitle: "Fondasi Formal dari Calculus" description: "Epsilon-delta definition, sifat limits, L'Hopital's rule, continuity, dan limits penting yang sering muncul." categories: [calculus, limits, continuity] --- ::: {.callout-note title="Why This Matters for Your Work"} Limits adalah bahasa formal untuk mendefinisikan apa yang terjadi saat kita mendekati sesuatu tanpa benar-benar mencapainya. Dalam statistik dan econometrics, konsep ini muncul terus-menerus: - **Konsistensi estimator**: $\hat{\theta}_n \xrightarrow{p} \theta$ saat $n \to \infty$ — ini adalah limit (dalam probabilitas) - **Asymptotic theory**: hampir semua teori large-sample bergantung pada perilaku limit - **Continuity of probability**: $P(\lim_{n\to\infty} A_n) = \lim_{n\to\infty} P(A_n)$ — valid hanya dengan kondisi tertentu - **Numerical methods**: convergence criterion dalam iterative algorithms (EM algorithm, MCMC) didefinisikan via limits ::: ## Intuisi: Apa Itu Limit? Sebelum definisi formal, mari bangun intuisi. Limit $\lim_{x \to a} f(x) = L$ artinya: semakin $x$ mendekati $a$, nilai $f(x)$ semakin mendekati $L$. Perhatikan: kita peduli pada apa yang terjadi *dekat* $a$, bukan *di* $a$ itu sendiri. $f(a)$ bahkan tidak perlu terdefinisi! **Contoh sederhana:** $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$$ Fungsi $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ tidak terdefinisi di $x = 2$, tapi limitnya adalah 4. ## Definisi Formal: Epsilon-Delta ::: {.callout-important title="Definisi Epsilon-Delta (Cauchy)"} $\lim_{x \to a} f(x) = L$ jika dan hanya jika: Untuk setiap $\varepsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sehingga: $$0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$$ Dalam bahasa sehari-hari: "Untuk seberapa pun kecil toleransi $\varepsilon$ yang kamu minta, saya bisa temukan jangkauan $\delta$ di sekitar $a$ sehingga nilai fungsi selalu berada dalam toleransi $\varepsilon$ dari $L$." ::: Definisi ini mungkin terlihat berbelit, tapi inilah yang membuat calculus *rigorous*. Untuk keperluan kita, yang lebih penting adalah mengenali dan menggunakan sifat-sifat limit. ## Sifat-sifat Limit Jika $\lim_{x \to a} f(x) = L$ dan $\lim_{x \to a} g(x) = M$, maka: $$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$$ $$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$$ $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \quad \text{(jika } M \neq 0\text{)}$$ $$\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot L$$ **Squeeze Theorem:** Jika $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ di sekitar $a$ dan $\lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x) = L$, maka $\lim_{x\to a} f(x) = L$. ## Limits Penting Beberapa limits yang muncul berulang kali: $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^p} = 0 \quad \text{untuk } p > 0 \text{ (log grows slower than any power)}$$ ::: {.callout-tip title="Worked Example: L'Hopital's Rule" collapse="true"} **Problem:** Hitung $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ **Setup:** Substitusi $x = 0$ langsung memberikan $\frac{0}{0}$ — indeterminate form. **L'Hopital's Rule:** Jika $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ atau $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$, maka: $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ **Solution:** $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$$ Ini juga bisa didapat dari Taylor series: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots$, jadi $\frac{e^x - 1 - x}{x^2} \approx \frac{x^2/2}{x^2} = \frac{1}{2}$. ::: ## Continuity ::: {.callout-important title="Definisi: Continuity"} Fungsi $f$ **continuous** di titik $a$ jika ketiga kondisi ini terpenuhi: 1. $f(a)$ terdefinisi 2. $\lim_{x \to a} f(x)$ ada 3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ $f$ continuous di interval jika continuous di setiap titik interval tersebut. ::: ### Tipe Discontinuity - **Removable**: limit ada, tapi $f(a)$ tidak terdefinisi atau $\neq$ limit (contoh: $\frac{x^2-4}{x-2}$ di $x=2$) - **Jump**: left limit $\neq$ right limit (contoh: fungsi step) - **Infinite**: $f(x) \to \pm\infty$ di $x = a$ (contoh: $\frac{1}{x}$ di $x = 0$) ### Teorema Penting tentang Continuous Functions ::: {.callout-important title="Intermediate Value Theorem (IVT)"} Jika $f$ continuous di $[a, b]$ dan $f(a) \neq f(b)$, maka untuk setiap nilai $c$ di antara $f(a)$ dan $f(b)$, terdapat $x_0 \in (a, b)$ sehingga $f(x_0) = c$. Implikasi praktis: IVT menjamin existence of solutions untuk persamaan $f(x) = 0$ — digunakan dalam numerical root-finding methods. ::: ::: {.callout-important title="Extreme Value Theorem (EVT)"} Jika $f$ continuous di interval tertutup terbatas $[a, b]$, maka $f$ mencapai maximum dan minimum di $[a, b]$. Ini penting untuk optimization: menjamin bahwa masalah minimisasi punya solusi (di bawah kondisi tertentu). ::: ## Uniform Continuity Continuous biasa hanya mensyaratkan: untuk setiap $x$ dan $\varepsilon$, terdapat $\delta$ (yang bisa bergantung pada $x$). **Uniformly continuous**: $\delta$ bisa dipilih *seragam* untuk semua $x$ — properti yang lebih kuat, penting dalam analisis fungsional. ::: {.callout-caution title="Connection: Continuity dalam Statistik"} Continuity muncul dalam teori statistik dalam beberapa cara: 1. **Continuous mapping theorem**: Jika $X_n \xrightarrow{d} X$ dan $g$ continuous, maka $g(X_n) \xrightarrow{d} g(X)$. Ini dipakai dalam delta method. 2. **Density functions**: PDF harus non-negative dan integrate ke 1 — biasanya assumed continuous untuk memudahkan analisis. 3. **Regularity conditions dalam MLE**: Log-likelihood sering diasumsikan continuous (dan differentiable) dalam $\theta$ agar FOC valid. ::: ## Key Takeaways ::: {.key-takeaways} ### Poin Utama - Limit mendefinisikan perilaku fungsi *mendekati* suatu titik — bukan nilai *di* titik itu - Epsilon-delta: definisi formal yang membuat calculus rigorous - L'Hopital's rule: untuk indeterminate forms $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ - Continuity: limit ada, terdefinisi, dan keduanya sama - EVT: fungsi continuous di $[a,b]$ pasti punya max dan min — kunci untuk optimization existence - Continuous mapping theorem: penting untuk asymptotic theory di statistik ::: **Selanjutnya:** [Derivatives →](02-derivatives.qmd)